人教版高中数学第2讲　第3课时　导数与函数的综合问题.doc

第3课时　导数与函数的综合问题
一、选择题
1.方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
解析　设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6＜0，极小值为f(3)＝－10＜0，所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为1.
答案　C
2.若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)
解析　∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－.
令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln 2＞0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，
∴实数a的取值范围为(－1，＋∞).
答案　D
3.(2017·山东省实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则(　　)
A.3f(1)<f(3) B.3f(1)>f(3)
C.3f(1)＝f(3) D.f(1)＝f(3)
解析　由于f(x)>xf′(x)，则′＝<0恒成立，因此在R上是单调递减函数，∴<，即3f(1)>f(3).
答案　B
4.(2017·德阳模拟)方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)＝ln x的“新驻点”为a，那么a满足(　　)
A.a＝1 B.0<a<1
C.2<a<3 D.1<a<2
解析　∵g′(x)＝，∴ln x＝.
设h(x)＝ln x－，
则h(x)在(0，＋∞)上为增函数.
又∵h(1)＝－1<0，h(2)＝ln 2－＝ln 2－ln>0，
∴h(x)在(1，2)上有零点，∴1<a<2.
答案　D
5.(2017·贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：
x
－1
0
2
3
4
f(x)
1
2
0
2
0
f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.当1<a<2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图象如图所示.
由于f(0)＝f(3)＝2，1<a<2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4.
答案　D
二、填空题
6.已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
解析　设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，
若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案　－2或2
7.若函数f(x)＝ax－ln x在上单调递增，则实数a的取值范围为________.
解析　由已知得f′(x)＝a－≥0对∀x∈恒成立，∴a≥对∀x∈恒成立，∵<＝2，∴a≥2.
答案　[2，＋∞)
8.(2017·安徽江南名校联考)已知