人教版高中数学第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式.doc

第3讲　简单的三角恒等变换
一、知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos__β±cos_αsin__β；
cos(α∓β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos__α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3．三角函数公式的关系
常用结论
四个必备结论
(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
(4)辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.
二、教材衍化
1．若cos α＝－.α是第三象限的角，则sin＝________．　
解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝－×＋×＝－.
答案：－
2．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．
解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
答案：
3．化简：＝________．
解析：原式＝
＝＝＝.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)
(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
(1)不会用公式找不到思路；
(2)不会合理配角出错．
1．sin 15°＋sin 75°的值是________．
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.
答案：
2．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．
解析：tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝.
答案：
第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考点一　和差公式的直接应用(基础型)
复****指导1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
核心素养：逻辑推理、数学运算
1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选A．因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，
所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，
所以2sin α＝1－sin2 α，
解得sin α＝，故选B．
3．已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
故sin＝sin cos α＋cos sin α
＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos