人教版高中数学第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系.doc

第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
一、知识梳理
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d＜r
Δ＞0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d＞r
Δ＜0
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)．
方法位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成
方程组的解的情况
外离
d＞r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)
无解
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
3．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋.
二、教材衍化
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案：B
2．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．
答案：
3．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________．
答案：内切
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)
(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．(　　)
(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　)
(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
(1)忽视分两圆内切与外切两种情形；
(2)忽视切线斜率k不存在的情形．
1．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________．
解析：两圆的圆心距d＝，由两圆相切(外切或内切)，得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0.
答案：±2或0
2．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为________．
解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以＝3，所以k＝－，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4
x＋3y－15＝0.
答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
考点一　直线与圆的位置关系(基础型)
能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
核心素养：逻辑推理，数学运算
(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
(2)(一题多解)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．
【解析】　(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，
所以直线与圆相交．
(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－，)．
法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝，
直线与圆没有公