2022届高考数学一轮复习（人教版）第8章 §8.2　两条直线的位置关系.docx

§8.2　两条直线的位置关系
考试要求　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
一、两条直线的平行与垂直
1．两条直线平行
(1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
2．两条直线垂直
(1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
二、两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
三、三种距离公式
1．两点间的距离公式
(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
(2)结论：|P1P2|＝.
(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
2．点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
3．两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
微思考
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1不同时为0；A2，B2不同时为0)，则l1∥l2的充要条件是什么，l1⊥l2的充要条件是什么？
提示　l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且B1C2≠B2C1(或A1C2≠A2C1)；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点的坐标是什么？
提示　(2a－x0,2b－y0)．
3．点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线y＝kx＋b(k≠0)对称，列出P，Q坐标的关系式．
提示　
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　×　)
(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　√　)
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　√　)
题组二　教材改编
2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
答案　1
解析　由题意知＝1，
所以m－4＝－2－m，
所以m＝1.
3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
答案　－9
解析　由得
所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
4．两平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________．
答案　
解析　因为l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得d＝＝.
题组三　易错自纠
5．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　)
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
答案　C
解析　直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠(m≠0)，故m＝2或－3.故选C.
6．(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能是(　　)
A．(2,0) B．(0,2)
C．(4,6) D．(6,4)
答案　AC
解析　设B(x，y)，根据题意可得
即
解得或所以B(2,0)或B(4,6)．
故选AC.
题型一 两条直线的平行与垂直
1．已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
答案　D
解析　方法一　∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．
又∵l1∥l2，∴＝－，
∴a＝－1或a＝2，又两条直线在y轴上的截距不相等．
∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行．
方法二　由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，
解得a＝－1或a＝2.
由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.
所以a＝－1或a＝2.
2．若直线ax＋4y－2＝0与直线2x