2022届高考数学一轮复习（人教版）第8章 §8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定
方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d<r
d＝r
d>r
代数法：由
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d> r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d< r1＋r2
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
0≤d<|r1－r2|
(r1≠r2)
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
微思考
1．过一点圆的切线有几条？
提示　应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．
2．用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？
提示　不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况．
3．当两圆相交时，怎样求两圆公共弦所在直线的方程？
提示　两圆方程相减得到的直线方程即为两圆公共弦所在的直线的方程．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(　√　)
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(　×　)
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　√　)
(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　√　)
题组二　教材改编
2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案　B
3．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案　
4．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________．
答案　内切
题组三　易错自纠
5．(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是(　　)
A．0<m<1 B．－1<m<0
C．m<1 D．－3<m<1
答案　AB
解析　联立直线与圆的方程得消去y，得2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，根据题意得Δ＝(2m－2)2－8(m2－1)＝－4(m＋1)2＋16>0，得－3<m<1.
∵{m|0<m<1}{m|－3<m<1}，{m|－1<m<0}{m|－3<m<1}，
∴0<m<1和－1<m<0都是直线与圆相交的充分不必要条件．
6．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_______________．
答案　5x－12y＋45＝0或x－3＝0
解析　化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径为2，
∵|OA|＝＝>2，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为
x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，∴k＝，
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
题型一 直线与圆的位置关系
例1 (1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有(　　)
A．直线l恒过定点(3,1) B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离
答案　AC
解析　将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
由解得
则无论m为何值，直线l过定点(3,1)，故直线l与圆C恒相交，故AC正确．
(2)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)
A．(