2024年高考数学一轮复习（人教版） 第3章　§3.6　利用导数证明不等式.docx

§3.6　利用导数证明不等式
考试要求　导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果．
题型一　将不等式转化为函数的最值问题
例1　(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝1时，令g(x)＝.证明：当x>0时，g(x)>1.
(1)解　函数f(x)＝ex－ax－a的定义域为R，求导得f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
当a>0时，令f′(x)＝ex－a>0，解得x>ln a，令f′(x)<0，解得x<ln a，
即f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)证明　当a＝1时，g(x)＝，
当x>0时，>1⇔ex>1＋x＋⇔<1，
令F(x)＝－1，x>0，F′(x)＝<0恒成立，则F(x)在(0，＋∞)上单调递减，
F(x)<F(0)＝－1＝0，因此<1成立，
所以当x>0时，g(x)>1，即原不等式得证．
思维升华　待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．
跟踪训练1　设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
(1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a(x∈R)知，f′(x)＝ex－2.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2，
当x<ln 2时，f′(x)<0，
函数f(x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减；
当x>ln 2时，f′(x)>0，
函数f(x)在区间(ln 2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，
f(x)的极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a，无极大值．
(2)证明　要证当a>ln 2－1且x>0时，
ex>x2－2ax＋1，
即证当a>ln 2－1且x>0时，
ex－x2＋2ax－1>0，
设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x>0)，
则g′(x)＝ex－2x＋2a，
由(1)知g′(x)min＝2－2ln 2＋2a，
又a>ln 2－1，则g′(x)min>0，
于是对∀x∈(0，＋∞)，都有g′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
于是对∀x>0，都有g(x)>g(0)＝0，
即ex－x2＋2ax－1>0，
故ex>x2－2ax＋1.
题型二　将不等式转化为两个函数的最值进行比较
例2　(2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明f(x)－＋2