2024年高考数学一轮复习（人教版） 第4章　§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念.docx

§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念
考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)－是第三象限角．(　×　)
(2)若角α的终边过点P(－3,4)，则cos α＝－.(　√　)
(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．(　×　)
(4)若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为.(　√　)
教材改编题
1. －660°等于(　　)
A．－π rad B．－π rad
C．－π rad D．－π rad
答案　C
解析　－660°＝－660× rad＝－π rad.
2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．
答案　－4π
解析　某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了－720°，即－4π.
3．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________.
答案　－　－
解析　因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝＝.则sin α＝＝＝－，tan α＝＝－.
题型一　角及其表示
例1　(1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　)
A．－α是第一象限角
B.是第三象限角
C.＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上
答案　D
解析　因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A错误；
对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
当k为偶数时，位于第一象限；当k为奇数时，位于第三象限，所以B错误；
对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，
即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α位于第一象限，所以C错误；
对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确．
延伸探究　若α是第一象限角，则是第几象限角？
解　因为α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°<<k·180°＋45°，k∈Z，
当k为偶数时，是第一象限角，
当k为奇数时，是第三象限角．
(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
答案　－675°和－315°
解析　所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
当k＝－1时，β＝45°－360°＝－315°，
当k＝－2时，β＝45°－2×360°＝－675°.
思维升华　确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
跟踪训练1　(1)“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当α是第四象限角时，＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，则＋kπ<<π＋kπ，k∈Z，即是第二或第四象限角．当＝为第二象限角时，α＝不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．
(2)(2021·北京)若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合