2024年高考数学一轮复习（人教版） 第4章　§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式.docx

§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(　√　)
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　×　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)
(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　×　)
教材改编题
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.
2．若将sin x－cos x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ .
答案　
解析　因为sin x－cos x＝2，
所以cos φ＝，sin φ＝，
因为0≤φ<π，
所以φ＝.
3．已知α∈，且sin α＝，则tan的值为 ．
答案　－
解析　因为α∈，且sin α＝，
所以cos α＝－＝－，tan α＝＝＝－.
所以tan＝＝＝－.
题型一　两角和与差的三角函数公式
例1　(1)计算：等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　
＝
＝＝.
(2)(2023·青岛模拟)已知tan α＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．1 C．0或－3 D．0或1
答案　C
解析　因为α＋β＝，
所以tan(α＋β)＝tan ⇒＝1⇒＝1⇒m2＋3m＝0，
解得m＝0或m＝－3.
思维升华　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1　(1)(2023·茂名模拟)已知0<α<，sin＝，则的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为sin＝，
所以(cos α－sin α)＝.
所以cos α－sin α＝，
所以1－2sin αcos α＝，
得sin αcos α＝，
因为cos α＋sin α＝＝，
所以＝＝
＝＝.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　)
A．tan(α－β)＝1
B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1
D．tan(α＋β)＝－1
答案　C
解析　由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.
题型二　两角和与差的公式逆用与辅助角公式
例2　(1)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　在△AB