2024年高考数学一轮复习（人教版） 第4章　§4.9　解三角形及其应用举例.docx

§4.9　解三角形及其应用举例
考试要求　1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.3.通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养．
知识梳理
测量中的几个有关术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)东南方向与南偏东45°方向相同．(　√　)
(2)若△ABC为锐角三角形且A＝，则角B的取值范围是.(　×　)
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　)
(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.(　×　)
教材改编题
1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
答案　B
解析　由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置关系如图，
则灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
2.如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　)
A．(30＋30)m B．(15＋30)m
C．(30＋15)m D．(15＋15)m
答案　A
解析　在△ABP中，∠APB＝45°－30°，
所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝×－×＝，
由正弦定理得PB＝＝＝30(＋)，
所以该树的高度为30(＋)sin 45°＝30＋30(m)．
3．在某次海军演****中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为________海里．
答案　6
解析　如图，设点A代表甲驱逐舰，点B代表乙护卫舰，点C代表航母，则A＝75°，B＝45°，
设甲乙距离x海里，即AB＝x，在△ABC中由正弦定理得＝，即＝，解得x＝6.
题型一　解三角形的应用举例
命题点1　测量距离问题
例1　(1)(2023·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是(　　)
A．8 km B．3 km C．3 km D．5 km
答案　B
解析　如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝2，依题意，∠BCD＝90°，
在△ABC中，由余弦定理得
AC＝
＝＝2，
由正弦定理得sin∠ACB＝＝，
在△ACD中，cos∠ACD＝cos(90°＋∠ACB)
＝－sin∠ACB＝－，
由余弦定理得AD＝＝＝3，
所以A地到D地的直线距离是3 km.
(2)(2022·东北师大附中模拟)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10 km；基站A，B在江的北岸
，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B的距离为(　　)
A．10 km B．30(－1)km
C．30(－1)km D．10 km
答案　D
解析　在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°∠ACD＝120°，
所以∠BCD＝45°，∠CAD＝30°，∠ADC＝∠CAD＝30°，所以AC＝CD＝10，
在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，
由正弦定理得BC＝＝5＋5，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(10)2＋(5＋5)2－2×10×(5＋5)cos 75°＝500，
所以A