2024年高考数学一轮复习（人教版） 第6章　必刷大题12　数列的综合问题.docx

必刷大题12　数列的综合问题
1．(2023·怀仁模拟)在递增的等比数列{an}中，前n项和为Sn，＝，a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log3a2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，
由＝，得S4＝4S2,
所以a3＋a4＝3(a1＋a2)，即(a1＋a2)q2＝3(a1＋a2)，
所以q2＝3，
因为等比数列{an}递增，所以q＝，
所以an＝a1qn－1＝.
(2)由(1)可得a2n－1＝3n－1，所以bn＝log3a2n－1＝n－1，
故Tn＝0＋1＋2＋…＋n－1＝.
2．(2022·潍坊模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S3＝a3＋6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Tn.
解　(1)设数列{an}的公比为q，由a1＝2，S3＝a3＋6，
得a1(1＋q＋q2)＝6＋a1q2，解得q＝2，
所以an＝2n.
(2)由(1)可得bn＝log2an＝n，所以anbn＝n·2n，
Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，
所以－Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.
3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100.
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4，
所以d＝a2－a1＝2，
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.
又an＝2log2bn，即2n＝2log2bn，
所以n＝log2bn，
所以bn＝2n.
(2)由(1)得bn＝2n＝2·2n－1＝a2n－1，
即bn是数列{an}中的第2n－1项．
设数列{an}的前n项和为Pn，数列{bn}的前n项和为Qn，
因为b7＝a26＝a64，b8＝a27＝a128，
所以数列{cn}的前100项是由数列{an}的前107项去掉数列{bn}的前7项后构成的，
所以S100＝P107－Q7＝－＝11 302.
4．(2023·荆州模拟)设正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且满足________．给出下列三个条件：①a3＝4，2lg an＝lg an－1＋lg an＋1(n≥2)；②Sn＝man－1(m∈R)；③2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝kn·2n(k∈R)．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和Tn＝，求n的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)选条件①时，a3＝4,2lg an＝lg an－1＋lg an＋1(n≥2)，
整理得a＝an－1·an＋1，故正项数列{an}为等比数列，
由于a1＝1，a