2024年高考数学一轮复习（人教版） 第8章　§8.8　直线与圆锥曲线的位置关系.docx

§8.8　直线与圆锥曲线的位置关系
考试要求　1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．
知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
2．弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．(　√　)
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．(　×　)
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．(　√　)
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　√　)
教材改编题
1．直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是(　　)
A. B．－
C．± D．±
答案　C
解析　由得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
解得k＝±.
2．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
答案　C
解析　联立消去y并整理得x2－6x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以|AB|＝＝×＝8.
3．已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵点A，B是双曲线C上的两点，
∴－＝1，－＝1，
两式相减得＝，
∵M(3,2)是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
∴＝，
∴kAB＝＝.
题型一　直线与圆锥曲线的位置关系
例1　(1)若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有(　　)
A．1个 B．至多1个
C．2个 D．0个
答案　C
解析　因为直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，
所以>3，即m2＋n2<9，
所以＋≤＋<1，
即点(m，n)在椭圆＋＝1内，
所以过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．
(2)(多选)已知直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率可能为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　BC
解析　双曲线的一条渐近线为y＝x，因为直线y＝x与双曲线无公共点，
故有≤1.
即＝＝e2－1≤1，
所以e2≤2，所以1<e≤.
思维升华　(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
跟踪训练1　(1)(2023·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
答案　A
解析　∵抛物线C：y2＝4x的准线为l，
∴l的方程为x＝－1，A(－1,0)，
设过点A作抛物线的一条切线为x＝my－1，m>0，
由得y2－4my＋4＝0，
∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，
∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，
∴△OAB的面积为×1×2＝1.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为________．
答案　(1,2)
解析　∵直线l的斜率kl＝tan 60°＝，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
则<，
∴e＝＝<2，故1<e<2.
题型二　弦长问题
例2　(2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
(1)解