2024年高考数学一轮复习（人教版） 第8章　§8.9　圆锥曲线压轴小题突破练[培优课].docx

§8.9　圆锥曲线压轴小题突破练
题型一　离心率范围问题
例1　(1)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－1,1] D.
答案　D
解析　由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，
又|FA|＝－c＝，|PF|∈[a－c，a＋c]，
∴∈[a－c，a＋c]，
∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，
∴
∴又∵e∈(0,1)，
∴e∈.
(2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A. B．[＋1，＋∞)
C. D．(1，＋1]
答案　D
解析　由题意＝sin∠PF1F2≤sin ＝，
所以0<|PF2|≤c，
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，
所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得2a2＋2ac－c2≥0，
所以e2－2e－2≤0，又e>1，故解得1<e≤＋1.
思维升华　求解圆锥曲线离心率范围问题的策略
(1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．
(2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)．
(3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．
跟踪训练1　(1)(2022·南京市宁海中学模拟)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝，则e1e2的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|，
由椭圆和双曲线的定义可得
得
设|F1F2|＝2c，
因为∠F1PF2＝，
由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，
整理得a＋3a＝4c2，
故＋＝4.
又4＝＋≥2＝，
即2≥，所以e1e2≥，
即e1e2的最小值为，
当且仅当＝，
即e1＝，e2＝时，等号成立．
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，
设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，
∵存在M，N使得∠MPN＝120°，
∴∠APB≥120°，即α≥60°，
又α<90°，
∴sin α≥sin 60°，
连接OA，则sin α＝＝≥，
∴|OP|≤.
又P是C上任意一点，
则|OP|max≤，
又|OP|max＝a，∴a≤，
则由a2＝b2＋c2，得e2≤，
又0<e<1，
∴e∈.
题型二　圆锥曲线中二级结论的应用
命题点1　椭圆、双曲线中二级结论的应用
例2　(1)(2022·咸宁模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆半径为r＝，则该椭圆的长轴长为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．12
答案　D
解析　由e＝，
得＝，即a＝2c.①
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，
得＝b2tan ＝r(2a＋2c)，
即b2＝(a＋c)，②
由a2＝b2＋c2，③
联立①②③，得c＝3，a＝6，b＝3，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
(2)(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B．2 C. D．3
答案　A
解析　如图，·＝0，
∴BA⊥BP，令kAB＝k，
∵∠ADO＝∠AOD，
∴kAP＝－kAB＝－k，