人教版高中数学4.3 利用递推公式求通项（精讲）（基础版）（解析版）.docx

4.3 利用递推公式求通项（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 累加法
【例1-1】（2022·四川成都）已知数列满足，则an=
【答案】
【解析】由题设，，，，…， 且，
所以，又，则，故，显然也满足.
【例1-2】（2022·全国·高三专题练****在数列中，，，则等于（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因，则有，
于是得，当时，
，
因此，，显然，满足上式，
所以.
故选：C
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****数列满足，且，则数列的通项公式为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
则，
，
，
，
累加得，
所以.
当n=1时也成立
故选：A.
2．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）数列中，且，则_________.
【答案】100
【解析】∵ ，∴
∵=9，即=9，解得n=100
故答案为：100
3．（2022·全国·高三专题练****设数列满足，则=_______.
【答案】
【解析】因为数列满足，，
所以当时，
.
所以，，
因为，也满足上式，
所以数列的通项公式为，故答案为：
考点二 累乘法
【例2】（2022·全国·高三专题练****已知数列满足，(，)，则数列的通项（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】数列满足，，整理得，，，，
所有的项相乘得：，整理得：，故选：．
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】因为，
所以， ，，，
累乘得：， ，
所以，．
由于，所以，．
显然当时，满足，
所以，．
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练****设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式
______.
【答案】
【解析】由，则
又数列为正项数列，即，
所以，即
所以
故答案为：
3（2022·全国·高三专题练****已知数列满足，，则数列的通项公式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.故选：D．
考点三 公式法
【例3-1】（2022·上海市）数列满足，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】当时，；
当时，，所以，又，所以两式作差得，
所以，即，所以数列是从第二项起公比为的等比数列，
所以.
故答案为：.
【例3-2】（2022·全国·高三阶段练****理））已知数列满足，，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【解析】当时，.
当时，，①
.②
①②，得.
因为不满足上式，所以
故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练****已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】，整理得到，故答案为：.
2．（2022·广西·模拟预测（理））正项数列的前项和为，且有，则___________．
【答案】
【解析】依题意，，
当时，，
当时，，
，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
故答案为：
3．（2022·云南·昆明一中高三阶段练****理））已知数列满足，则___________.
【答案】
【解析】记数列的前n项和为，则由题知，当时，；当时，，所以.故答案为：
考点四 构造等差数列
【例4-1】（2022·四川省绵阳南山中学）已知数列满足，，，则an=
【答案】
【解析】因为，所以，所以，又，
数列是以1为首项，4为公差的等差数列．所以，所以
【例4-2】（2022·江西）已知数列满足：，（，），则___________.
【答案】
【解析】由题设，，即，而，
∴是首项、公差均为的等差数列，即，∴.故答案为：