人教版高中数学第1讲 等差（等比）数列 (解析版）.docx

第1讲　等差（等比）数列
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：判断（证明）等差（等比）数列
突破二：等差（等比）中项
突破三：等差（等比）数列下标和性质
突破四：等差（等比）数列的单调性
突破五：等差（等比）数列奇偶项和
突破六：等差（等比）数列片段和性质
突破七：两个等差数列前项和比的问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、等差中项
由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 .
2、等差数列的单调性
①当，等差数列为递增数列
②当，等差数列为递减数列
③当，等差数列为常数列
3、等差数列的四种判断方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
4、等差数列前项和性质
(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为
(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列
(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
(4)若等差数列的项数为,则
，。
(5)若等差数列的项数为,则
，，，
5、等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
6、等比数列的单调性
已知等比数列的首项为，公比为
1、当或时，等比数列为递增数列；
2、当或时，等比数列为递减数列；
3、当时，等比数列为常数列（）
4、当时，等比数列为摆动数列.
7、等比数列的判断（证明）
1、定义：（或者）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）
8、等比数列前项和的性质
公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:
(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列
(2)当是偶数时,
当是奇数时,
(3)
第二部分：重难点题型突破
突破一：判断（证明）等差（等比）数列
1．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】取，则，故为等差数列，
但，，，不为等比数列，故数列不是等比数列，
故“数列为等差数列”推不出“数列为等比数列”，
若数列为等比数列，故，其中，
故，
故，故数列为等差数列，
故“数列为等比数列”可推出“数列为等差数列”，
故“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的必要不充分条件，
故选：B.
2．（2022·山东省莒南第一中学高三期中）“数列为等比数列”是“数列为等差数列”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】数列为等比数列，设其公比为，则也为等比数列，且，
所以，所以，为等差数列，
反之，若数列为等差数列，例如则，即，
满足数列为等差数列，但推不出“数列为等比数列”（正负随取构不成等比数列）.
所以，“数列是等比数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）已知等比数列满足，，则（    ）
A．数列是等差等列 B．数列是等差数列
C．数列是递减数列 D．数列是递增数列
【答案】B
【详解】解：因为等比数列满足，，
则，故数列是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A错误；
则，故数列是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B正确；
由A知：。故数列是递增数列，故C错误；
由B知：，故数列是递减数列，故D错误；
故选：B
4．（2022·北京·人大附中高三开学考试）若数列满足，则“，，”是“为等比数列”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：“，，”，取，则，
为等比数列．
反之不成立，为等比数列，设公比为，则，，只有时才能成立满足．
数列满足，则“，，”是“为等比数列”的充分不必要条件．
故选：A．
5．（2022·全国·高三专题练****数列中，“，”是“是公比为2的等比数列”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充