人教版高中数学第03讲 不等式及性质（解析版）.docx

第03讲 不等式及性质
【基础知识网络图】
基本不等式
重要不等式
最大（小）值问题
基本不等式
基本不等式的应用
扩充不等式
绝对值不等式
柯西不等式
【基础知识全通关】
知识点01：两个重要不等式及几何意义
1．重要不等式：
如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.
2．基本不等式：
如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.
【要点诠释】
和两者的异同：
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。
（3）可以变形为：，可以变形为：.
3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
【要点诠释】
1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
知识点02：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
知识点03：几个常见的不等式
1），当且仅当a=b时取“=”号。
2），当且仅当a=b 时取“=”号。
3）；特别地：；
4）
5）；
6）；
7）
知识点04：绝对值不等式的性质
1.；
2.；
知识点05：柯西不等式
1. 二维形式的柯西不等式：
（1）向量形式：
设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立。
（2）代数形式：
①若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；
②若a、b、c、d都是正实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；
③若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；
【要点诠释】
柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；
（3）三角形式：
设，则。
2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：
若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。
3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）：
若都是实数，则
，
当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。
【拓展】
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)
(2)作商法 (a∈R，b>0)
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b<a
⇔
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒ac<bc
同向可加性
⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)
a，b同为正数
微思考
1．两个正数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？
提示　如果a>b>0，则>.
2．非零实数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？
提示　如果ab>0且a>b，则<.
如果a>0>b，则>.
【考点研****一点通】
考点01：基本不等式求最值问题
1．设，则的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】
当且仅当即时取等号.
【答案】D
【变式1】已知, 且，求的最小值及相应的值.
【解析】∵, ∴, 又,
∴
当且仅当即时取等号
∴ 当时，取最小值.
【变式2】求下列函数的最大（或最小）值.
；
(2)， ；
(3) ，
(4) ， ；
(5)，
【解析】（1）∵ ，∴，∴
当且仅当，即时取等号
∴时，
(2) ∵，∴
当且仅当即时，.
(3) ∵，∴
∴
当且仅当即时，.
(4) ∵，∴∴
当且仅当 即时，.
(5) ∵，∴
∴
当且仅当即时，
【变式3】已知且，求的最小值.
【解析】方法一：且
∴（当且仅当即时等号成立）.
∴的最小值是16.
方法二：由，得，
∵，∴
∴
当且仅当即时取等号，此时
∴的最小值是16.
方法