人教版高中数学第3讲 三角函数与解三角形解答题 (解析版）.docx

第3讲　三角函数与解三角形解答题
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数单调区间
突破二：三角函数最值（值域）问题
突破三：与三角函数有关的零点问题
角度1：零点个数问题
角度2：零点代数和问题
突破四：三角函数中的恒（能）成立问题
突破五：三角形中线问题
突破六：三角形角平分线问题
突破七：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题
突破八：三角形中周长（定值，最值，取值范围）
突破九：三角形中边长的代数关系
突破十：四边形（多边形）问题
突破十一：三角函数与解三角形实际应用
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
3、三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
4、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式.
5、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
6、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
7、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数单调区间
1．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数，其中向量，．
(1)求的解析式及对称中心和单调减区间；
【答案】(1)，对称中心为，单调减区间是
【详解】（1）
                     
令，对称中心
又令，
所以单调减区间是
2．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（文））已知函数的部分图象如图所示，其中的图像与轴的一个交点的横坐标为.
(1)求这个函数的解析式，并写出它的递增区间；
【答案】(1)，
【详解】（1）由图知，，，
，
，
由得，
故的递增区间是
3．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高三阶段练****理））已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
【答案】(1)见详解
【详解】（1）
，
所以的最小正周期．
令，，
解得，，
所以的单调递减区间为，．
4．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练****理））已知函数．
(1)求的最小值，并写出此时x的取值集合；
(2)若，求的单调递减区间．
【答案】(1)，此时x的取值集合为；
(2)的单调递减区间为和
【详解】（1）


.
当，即时，
取得最小值，且，
所以，此时x的取值集合为；
（2）由，
得，
所以，
所以的单调递减区间为，
又因为，
所以的单调递减区间为和
5．（2022·浙江·模拟预测）已知函数．
(1)求的最小正周期以及在上的单调递增区间；
【答案】(1)，
解：∵，
∴的最小正周期为．
∵，∴，
∴，解得，
所以的最小正周期为，在上的单调递增区间为．
6．（2022·山东济宁·高一期中）已知函数
(1)求的定义域和最小正周期；
(2)求的单调区间．
【答案】(1)定义域为；最小正周期为
(2)单调递减区间为
(1)要使函数有意义，只需 ，
解得，
所以函数的定义域为．
函数的最小正周期为．
(2)由于正切函数在区间上单调递增，
对于函数令，
解得，
即在上单调递增
而函数与单调性相反
故函数单调递减区间为
突破二：三角函数最值（值域）问题
1．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））已知，．
(1)若，且，时，与的夹角为钝角，求的取值范围；
(2)若，函数，求的最小值．
【答案】(1)
(2)的最小值为.
【详解】（1）当时， ，若与的夹角为钝角，
则且与不能共线，
，所以，
又，所以，所以，
当与共线时，，故，所以与不共线时，.
综上：.
（2）
令，则

而函数在上为增函数，故当时有最小值.
故的最小值为.
2．（2022·湖南·模拟预测）函数