人教版高中数学第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题 (精讲+精练）（教师版）.docx

第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离变量法
高频考点二：分类讨论法
高频考点三：等价转化法
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二）设为正实数，函数，若，，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
因为，当时，所以有成立，因此函数在上单调递减，
因此当时，恒成立，一定有成立，
即，因为，所以有.
故选：A
2．（2022·全国·高二）若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
,
当时，，当时，，
的递减区间是，递增区间是，
所以取得极小值，也是最小值，
，
不等式对任意实数x都成立，
所以.
故选:D.
3．（2022·全国·高二）已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：函数,对都有,
当时,即,
即为
可化为
令,
则
当时,,单调递减.
因此
所以
故实数的取值范围是
故选B
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：分离变量法
1．（2022·全国·高三专题练****设，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意可知，不等式在上恒成立，
则对上恒成立，
设，，
则，令，解得，
所以当，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取极大值，即为最大值，最大值为，
所以，，
所以的取值范围为
故选：B
2．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（文））已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
对任意都有恒成立，
则时，
，当时恒成立，
 ，当时恒成立，
，
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练****已知对，不等式恒成立，则实数a的最小值是（       ）
A．e B． C． D．
【答案】C
对，不等式恒成立，等价于在恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以，
所以.
故选：C.
4．（2022·河南·高二阶段练****理））已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
，不等式化为，
令，则，
令（），则，所以在上是增函数，
所以，
所以时，，递减，时，，递增，
所以，
所以．
故选：A．
5．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练****已知函数（为常数）
1）讨论函数的单调性；
2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）时，递增，时，在递减，递增；（2）.
（1）函数定义域是，
，
时，恒成立，在上是增函数；
时，时，，递减，时，，递增．
（2）即在上恒成立，则，
设，则，时，，递增，时，，递减，，所以．
6．（2022·重庆市育才中学高二阶段练****已知函数，．
(1)讨论函数在区间的极值；
(2)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)
在区间上， ，
当时， 恒成立， 在区间上单调递减，
则在区间上无极值；
当时，令得，
在区间上，，函数单调递减，
在区间上，，函数单调递增.
若，即，则在区间上极小值
若或，即或，则在区间上无极值