人教版高中数学第4章 §4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式.docx

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用．
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)
(4)若sin＝，则cos α＝－.(　√　)
教材改编题
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α的值为 ．
答案　－
解析　∵sin α＝，α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－.
2．已知＝－5，那么tan α的值为 ．
答案　－
解析　由＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，
可得＝－5，解得tan α＝－.
3．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．
答案　－sin2α
解析　原式＝·(－sin α)·cos α
＝－sin2α.
题型一　同角三角函数基本关系
例1　(1)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .
答案　0
解析　∵cos α＝－<0且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝－.
此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－
＝－，
∴tan α＝＝＝，
此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
(2)已知tan α＝，则＝ ；sin2α＋sin αcos α＋2＝ .
答案　－　
解析　已知tan α＝，
所以＝＝－.
sin2α＋sin αcos α＋2
＝＋2
＝＋2
＝＋2＝.
(3)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
答案　－
解析　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝＝，
联立解得
所以tan θ＝－.
教师备选
1．(2022·锦州联考)已知＝5，则cos2α＋sin 2α等于(　　)
A. B．－
C．－3 D．3
答案　A
解析　由＝5，得＝5，
可得tan α＝2，
则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α
＝＝
＝.
2．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，则sin α－cos α的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　C
解析　由诱导公式得
sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
则2sin αcos α＝－<0，
因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以cos α<0，所以sin α－cos α>0，
因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
所以sin α－cos α＝.
思维升华　(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋c