人教版高中数学第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用.doc

第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
一、知识梳理
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)
常用结论
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．
二、教材衍化
1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，4π，　　　　　　　　　 B．2，，
C．2，，－ D．2，4π，－
解析：选C．由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
2．函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．　
解析：根据函数图象变换法则可得．
答案：y＝sinx
3．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
6
5
选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________．
解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin＋6＝6－cos x.
答案：y＝6－cos x
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　)
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　)
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
(1)搞不清ω的值对图象变换的影响；
(2)确定不了函数解析式中φ的值．
1．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝________．
解析：函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝2sin ＝2sin.
答案：2sin
2．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝________．
解析：设f(x)的最小正周期为T，
根据题图可知，＝，
所以T＝π，故ω＝2，
根据2sin＝0(增区间上的零点)可知，＋φ＝2kπ，k∈Z，
即φ＝2kπ－，k∈Z，
又|φ|＜，故φ＝－.
所以f(x)＝2sin.
答案：2sin
考点一　五点法作图及图象变换(基础型)
能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象．
核心素养：直观想象
已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
【解】　(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：
x
0
π
2x＋
π
2π
f(x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1
画图如下：
【迁移探究1】　(变结论)在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移________个单位得到y＝f(x