2022届高考数学一轮复习（人教版）第4章 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念.docx

§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念
考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段
MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
微思考
1．总结一下三角函数值在各象限符号为正的规律．
提示　一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？
提示　设点P到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　×　)
(2)角α＝kπ＋(k∈Z)是第一象限角．(　×　)
(3)若sin α＝sin ，则α＝.(　×　)
(4)－300°角与60°角的终边相同．(　√　)
题组二　教材改编
2．终边落在第一象限角平分线上的角的集合是________________．(用角度表示)
答案　{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
3．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度．
答案　
4．若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1,2)，则sin α－cos α＋tan α＝________.
答案　
题组三　易错自纠
5．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　AC
解析　因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，
则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z.
故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角．故选AC.
6．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________.
答案　－3
解析　因为sin θ＝－<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，
由三角函数的定义，得＝－.
解得y＝－3.

题型一 角及其表示
1．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
答案　C
解析　与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
答案　C
解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2
n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
3．设集合M＝，N＝，那么(　　)
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
答案　B
解析　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.
4．若角α是第二象限角，则是第________象限角．
答