2022届高考数学一轮复习（人教版）第10章 §10.3　二项式定理.docx

§10.3　二项式定理
考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项
二项式系数
C(k∈{0,1,2,3，…，n})
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值
当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n.
微思考
1．总结(a＋b)n的展开式的特点．
提示　(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
2．(a＋b)n的展开式的二项式系数和系数相同吗？
提示　不一定．(a＋b)n的展开式的通项是Can－kbk，其二项式系数是C(k∈{0,1,2,3，…，n})，不一定是系数．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．(　×　)
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　)
(4)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　√　)
题组二　教材改编
2．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)
A．C B．C
C．C D．(－1)m－1C
答案　D
解析　(x－y)n二项展开式第m项的通项为
Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，
所以系数为C(－1)m－1.
3．(八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　)
A．60 B．80 C．84 D．120
答案　D
解析　(利用公式C＋C＝C)
(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝120.
4．C＋C＋C＋…＋C＝________.
答案　210
题组三　易错自纠
5．已知n(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)
A．1 B．±1 C．2 D．±2
答案　C
解析　根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，则二项式的展开式通项为Tk＋1＝C()5－k·k＝akC，令＝0，得k＝3，则其常数项为Ca3，根据题意，有Ca3＝80，可得a＝2.
6．在n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_____．
答案　1
解析　因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.
在5中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.
题型一 多项展开式的特定项
命题点1　二项展开式问题
例1 (1)(2020·北京)在(－2)5的展开式中，x2的系数为(　　)
A．－5 B．5 C．－10 D．10
答案　C
解析　Tk＋1＝C()5－k(－2)k＝C·(－2)k，
令＝2，解得k＝1.
所以x2的系数为C(－2)1＝－10.
(2)(2019·浙江)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
答案　16　5
解析　该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.
命题点2　两个多项式积的展开式问题
例2 (1)(2020·全国Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5 B．10 C．15 D．20
答案　C
解析　方法一　∵(x＋y)5＝(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系数为10＋5＝15.
方法二　当x＋中取x时，x3y3的系数为C，
当x＋中取时，x3y3的系数为C，
∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15.
(2)(2019·全国Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A．12