2023年高考数学二轮复习（人教版）第1部分 专题突破 专题1　第3讲　导数的几何意义及函数的单调性.docx

第3讲　导数的几何意义及函数的单调性
[考情分析]　1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．
考点一　导数的几何意义与计算
核心提炼
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′ x＝y′u·u′x.
例1　(1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2ex－x)·cos x的图象在x＝0处的切线方程为(　　)
A．x－2y＋1＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
答案　B
解析　由题意，函数f(x)＝(2ex－x)·cos x，
可得f′(x)＝(2ex－1)·cos x－(2ex－x)·sin x，
所以f′(0)＝(2e0－1)·cos 0－(2e0－0)·sin 0＝1，
f(0)＝(2e0－0)·cos 0＝2，
所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝x－0，即x－y＋2＝0.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝＝(x0＋a＋1)＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以
Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
易错提醒　求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
跟踪演练1　(1)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，____________.
答案　y＝x　y＝－x
解析　先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，
则由y′＝，得切线斜率为，
又切线的斜率为，所以＝，
解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，
所以切线斜率为，切线方程为y＝x.
同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.
综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x.
(2)(2022·保定联考)已知函数f(x)＝aln x，g(x)＝bex，若直线y＝kx(k>0)与函数f(x)，g(x)的图象都相切，则a＋的最小值为(　　)
A．2 B．2e
C．e2 D.
答案　B
解析　设直线y＝kx与函数f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为A(m，km)，B(n，kn)．
由f′(x)＝，有
解得m＝e，a＝ek.
又由g′(x)＝bex，有
解得n＝1，b＝，
可得a＋＝ek＋≥2＝2e，
当且仅当a＝e，b＝时取“＝”．
考点二　利用导数研究函数的单调性
核心提炼
利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求函数y＝f(x)的定义域．
(2)求f(x)的导数f′(x)．
(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间．
(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．
例2　(2022·哈师大附中模拟)已知函数f(x)＝axex－(x＋1)2(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若f(x)在x＝0处的切线与直线y＝ax垂直，求a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解　(1)f′(x)＝(x＋1)(aex－2)，则f′(0)＝a－2，
由已知得(a－2)a＝－1，解得a＝1.
(2)f′(x)＝(x＋1)(aex－2)，
①当a≤0时，aex－2<0，
所以f′(x)>0⇒x<－1，f′(x)<0⇒x>－1，
则f(x)在(－∞，－1)上单调递增，
在(－1，＋∞)上单调递减；
②当a>0时，令aex－2＝0，得x＝ln ，
(ⅰ)当0<a<2e时，ln >－1，
所以f′(x)>0⇒x<－1或x>ln ，
f′(x)<0⇒－1<x<ln ，
则f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
(ⅱ)当a＝2e时，f′(x)＝2(x＋1)(ex