2023年高考数学二轮复习（人教版）第1部分 专题突破 专题6　微重点17　抛物线的二级结论的应用.docx

微重点17　抛物线的二级结论的应用
抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．
考点一　抛物线的焦点弦
核心提炼
与抛物线的焦点弦有关的二级结论
若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则
(1)焦半径|AF|＝x1＋＝，
|BF|＝x2＋＝，
(2)焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，
(3)S△OAB＝(O为坐标原点)，
(4)x1x2＝，y1y2＝－p2，
(5)＋＝，
(6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．
考向1　焦半径、弦长问题
例1　(1)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16 B．14 C．12 D．10
答案　A
解析　如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈，则直线l2的倾斜角为＋θ，
由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝＝，
|DE|＝＝，
∴|AB|＋|DE|＝＋＝＝≥16，
当且仅当sin 2θ＝1，
即θ＝时取等号．
∴|AB|＋|DE|的最小值为16.
(2)斜率为的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F与抛物线交于A，B两点，A在第一象限且|AF|＝4，则|AB|＝________.
答案　
解析　直线l的倾斜角α＝60°，
由|AF|＝＝4，
得p＝4(1－cos α)＝2，
∴|AB|＝＝＝.
考向2　面积问题
例2　(2022·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．
答案　64
解析　方法一　(常规解法)依题意，
抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，
直线l的方程为x＝y＋4.
由消去x，
得y2－16y－64＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝16，y1y2＝－64.
S△OAB＝|y1－y2|·|OF|
＝2
＝2＝64.
方法二　(活用结论)依题意知，
抛物线y2＝16x，p＝8.
又l的倾斜角α＝.
所以S△OAB＝＝＝64.
考向3　＋＝的应用
例3　(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|最小值为(　　)
A．2 B．2＋3
C．4 D．3＋2
答案　D
解析　因为p＝2，
所以＋＝＝1，
所以2|AF|＋|BF|
＝(2|AF|＋|BF|)·
＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当|BF|＝|AF|时，等号成立，
因此，2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2.
考向4　利用平面几何知识
例4　(2022·遂宁模拟)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准线l1交于点M，若＝2，则等于(　　)
A. B. C. D．3
答案　B
解析　如图，过点P作准线的垂线交于点H，由抛物线的定义有|PF|＝|PH|＝m(m>0)，过点Q作准线的垂线交于点E，
则|EQ|＝|QF|，
∵＝2，
∴|PM|＝2m，
根据△PHM∽△QEM，
可得＝＝，
∴2|EQ|＝|QM|＝|FQ|＋3m.
∴|EQ|＝3m，即|FQ|＝3m，
∴＝＝.
易错提醒　焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．
跟踪演练1　(1)已知A，B是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足＝3，S△OAB＝|AB|，则|AB|的值为(　　)
A. B. C．4 D．2
答案　A
解析　如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈，
∵＝3
∴F为AB的三等分点，
令|BF|＝t，则|AF|＝2t，
由＋＝，
得＋＝⇒t＝p，
∴|AB|＝3t＝p，
又|AB|＝，
∴＝p⇒sin α＝，
又S△AOB＝|AB|，
∴＝|AB|，
即＝·p⇒p＝2，
∴|AB|＝.
(2)(多选)已知抛物线C：x