2024年高考数学一轮复习（人教版） 第8章　§8.13　圆锥曲线中探索性与综合性问题.docx

§8.13　圆锥曲线中探索性与综合性问题
题型一　探索性问题
例1　(2023·南通模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且过点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解　(1)依题意结合c2＝a2＋b2，
解得a＝1，b＝，c＝2.
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件．
由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0)．
设Q(x0，y0)(x0≥1)为双曲线C右支上一点．
当x0＝2时，
因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，
所以∠QMF＝45°，
于是|MF|＝|QF|＝3，
所以t＝－1.即M(－1,0)．
当x0≠2时，tan∠QFM＝－kQF＝－，
tan∠QMF＝kQM＝.
因为∠QFM＝2∠QMF，
所以－＝.
将y＝3x－3代入并整理得
－2x＋(4＋2t)x0－4t＝－2x－2tx0＋t2＋3，
所以
解得t＝－1.即M(－1,0)．
综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0)．
思维升华　存在性问题的解题策略
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
跟踪训练1　(2022·淄博模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2.
(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．
解　(1)由题意得，
因为点M(2，m)在抛物线上，所以22＝2pm，
由抛物线的定义，得m＋＝2，
则解得
所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)由(1)得M(2,1)，
设点A，B，
则kMA＝，kMB＝，
所以kMAkMB＝×＝－2，
得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；
设直线AB方程为y＝kx＋b，
由得x2－4kx－4b＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，
所以直线AB的方程为y＝kx＋2k＋9，
即直线AB恒过抛物线内部的定点N(－2,9)，
又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好经过点N(－2,9)，
当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，
此时k＝－＝，
所以直线AB的方程为y＝x＋10.
题型二　圆锥曲线的综合问题
例2　(2023·福州模拟)如图，O为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝.
(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；
(2)过