人教版高中数学6.3 利用递推公式求通项（精讲）（提升版）（解析版）.docx

6.3 利用递推公式求通项（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 累加法
【例1-1】（2022·河南·灵宝市）已知数列满足，且,求数列的通项公式；
【答案】
【解析】因为，所以，
，…，所以．
又，所以，所以．又，也符合上式，所以．
【例1-2】（2022·江苏江苏·一模）已知数列，，且，，求数列的通项公式
【答案】
【解析】因为，所有，
当时，，，……，，
相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式
【一隅三反】
1．(2022.广东）数列满足，，则= 。
【答案】
【解析】，，则当时，，
。
2．(2022.广东）在数列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n•2n，则an＝ 。
【答案】（n﹣2）•2n
【解析】∵an+1＝an+n•2n，∴an+1﹣an＝n•2n，且a1＝﹣2
∴an﹣a1＝an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+…+a2﹣a1＝（n﹣1）•2n﹣1+…+2•22+1•21，①
∴2（an﹣a1）＝（n﹣1）•2n+（n﹣2）•2n﹣1+…+2•23+1•22，②
①-①得﹣（an﹣a1）＝﹣（n﹣1）•2n+2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+2
＝﹣（n﹣1）•2n+﹣（n﹣1）•2n﹣2+2n，
∴an﹣a1＝（n﹣1）•2n+2﹣2n，所以an＝（n﹣2）•2n
3．已知数列中，，，则数列的一个通项公式为 。
【答案】
【解析】因为则
由递推公式可得

将等式两边分别相加可得
所以由对数运算可得
考点二 累乘法
【例2】（2022·全国·模拟预测（理））已知数列满足．求数列的通项公式；
【答案】；
【解析】当时，，则，即，
，n＝1也满足上式，故；
【一隅三反】
1.（2022·安徽安庆）已知数列的前n项和为，且满足，.求的通项公式；
【答案】，
【解析】时，，解得.
当时，，故，所以，
故.
符合上式故的通项公式为，.
2．（2022·全国·专题练****设是首项为1的正项数列且，求数列的通项公式 .
【答案】或
【解析】依题意，
所以，
当时，，所以.
当时，，
所以
，
也符合上式.
所以.
综上所述，或.
4．（2021·全国·专题练****设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式.=
【答案】
【解析】由，得，
∵，∴，∴ ，∴，
∴，
又a1＝1满足上式，∴.
考点三 公式法
【例3-1】（2022·四川）数列的前项和，则它的通项公式是_______．
【答案】
【解析】当时，，
当时，
经检验当时不符合，所以，故答案为：
【例3-2】（2022·安徽宿州）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式为______．
【答案】
【解析】当时，，得，
当时，由，得，所以，所以，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，故答案为：
【例3-3】．（2022·北京交通大学附属中学）已知数列满足，则____.
【答案】
【解析】因为，所以当时，有，
，得，当时，也适合，故答案为：
【例3-4】．（2022·山西太原·二模（文））已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
【答案】n
【解析】∵，∴
当时，，
当时，成立，∴，
当时，，
当时，满足上式，∴.故答案为：n
【一隅三反】
1．（2022·湖北）数列中，已知，且（且），则此数列的通项公式为__________.
【答案】
【解析】由得：
（且）
（且）即（且）
数列是第二项起公比为的等比数列，
（且）又不满足上式，
2．（2022·全国·专题练****多选）在数列中，其前的和是 ，下面正确的是（       ）
A．若 ，则其通项公式
B．若，则其通项公式
C．若，则其通项公式
D．若，，则其通项公式
【答案】BCD
【解析】A：时，，当时，，而，故错误；
B：由题设，，，，，…，则，故正确；
C：由题设，，而，则，即，故正确；
D：假设成立，当时，，即成立；
若时，成立，则时，，
此时，则也成立，故正确.
故选：BCD
3．（2022·全国·高三专题练****多选）在数