人教版高中数学9.6 导数的综合运用（精练）（基础版）（解析版）.docx

9.6 导数的综合运用（精练）（基础版）
题组一 零点问题
1．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（理））已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)讨论的零点情况．
【答案】(1)递增区间为，递减区间为
(2)答案见解析
【解析】（1）解：当时，则，可得，
令，解得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减．
（2）解：当时，；
当时，等价于，
令，则，
当时，；
当时，；
当时，；
所以在单调递增；在单调递减，
且当时，，当时，；当时，，
如图所示，可得为的极大值，
当，即时，与只有1个交点，即只有1个零点；
当时，与有2个交点，即有2个零点；
当时，与有3个交点，即有3个零点．
综上，时，只有1个零点；当时，有2个零点；
当时，有3个零点．
2．（2020·陕西·榆林市第十中学高三期中（理））已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)设，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）解：函数的定义域为，且.
当时，即当时，对任意的，，此时函数的增区间为；
当时，即当时，由可得，由可得，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：由，可得，其中，
构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，所以，函数单调递减，
所以，函数的极大值为，且当时，，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
3．（2022·广东·金山中学高三阶段练****已知函数，和，
(1)若与有相同的最小值，求的值；
(2)设有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），
当时，在R上单调递减，无最值，舍去
当时，令，则
∴在上单调递减，在上单调递增，则
∵，则的定义域为
，令，则
∴在上单调递减，在上单调递增，则
依题  
（2）
由题意可知：
令，即，则
即，则
∵在上单调递增
则，即在上有两个零点
由（1）可得：，解得：
此时在上有一个零点
当时，下证在上有一个零点
取，则
令，则
∴在单调递减，则，即
∵，令，则
∴
令，则
又∵，则
∴在上单调递增，则
即
∴在上有一个零点
则的取值范围为
4．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练****已知函数，为的导数．
(1)判断并证明在区间上存在的极大值点个数；
(2)判断的零点个数．
【答案】(1)在区间上存在的极大值点个数为1，理由见解析；
(2)2个零点，理由见解析.
【解析】（1）在区间上存在的极大值点个数为1，理由如下：
，，
，令，，
则，令，，
，
当时，，所以，
即在上单调递减，
又， ，
故存在，使得，
且当时，，当时，，
所以在处取得极大值，
故在区间上存在的极大值点个数为1；
（2）
的定义域为，
①当时，由（1）知，在上单调递增，而，
所以当时，，
故在上单调递减，又，
所以是在上的唯一零点；
②当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
而，，
所以存在，使得，
且当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
又，所以当时，，
所以在上没有零点；
③当时，，所以在上单调递减，
而，
所以在上有唯一零点；
④当时，，所以，从而在上无零点；
综上：有且仅有两个零点.
题组二 不等式成立
1．（2022·广东汕头·高三阶段练****已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，若在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【解析】（1）函数定义域为..
令，则有.
i.当时，恒成立，有，所以在上单增，无减区间；
ii. 当时，令解得：，.
当时，的对称轴，所以在上单增.
又，所以恒成立，所以有，所以在上单增，无减区间；
当时，的对称轴，且，
.
由二次函数的性质可得：
在上；在上；在上.
所以在上，有，单增；在上有，单减；在上有，单增.
即在上单增，
在上单减，
在上单增.
综上所述：当时，的递增区间为，，
递减区间为，
当时，的递增区间为，无减区间.
（2）
当时，.
在恒成立，可化为在恒成立.
即，
即在恒成立.
令，因为为增函数，为增