人教版高中数学第4章 §4.8　解三角形及其应用举例.docx

§4.8　解三角形及其应用举例
考试要求　1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题．
知识梳理
测量中的几个有关术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)东南方向与南偏东45°方向相同．(　√　)
(2)若△ABC为锐角三角形且A＝，则角B的取值范围是.(　×　)
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　)
(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.(　×　)
教材改编题
1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为(　　)
A．20 m B．30 m
C．40 m D．50 m
答案　D
解析　由三角形内角和定理，
可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，
由正弦定理得＝
⇒＝⇒AB＝50.
2．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为________ m.
答案　30＋10
解析　如图所示，依题意∠ACE＝30°，
∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30，
由＝，得AE＝10，
所以AB＝(30＋10) m.
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的面积最大值为________．
答案　
解析　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴4＝b2＋c2－bc，
∴bc＋4＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤4(当且仅当b＝c时取“＝”)，
∴S△ABC＝bcsin A＝bc≤，
∴△ABC的面积最大值为.
题型一　解三角形的应用举例
命题点1　距离问题
例1　(1)(2022·天津模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)
A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(－1) m
答案　C
解析　从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，气球的高度是60 m，
所以∠ABC＝105°，∠ACB＝30°，∠CAB＝45°，
所以AB＝，
由正弦定理可得＝，
所以BC＝＝
＝120(－1)．
(2)(2022·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，
∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．
答案　80
解析　由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得
AC＝＝＝40(＋)．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，
得BC＝＝
＝160sin 15°
＝40(－)．
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4
＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80，
故图中海洋蓝洞的口径为80.
命题点2　高度问题
例2　(1)(2022·重庆沙坪坝质检)在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗