人教版高中数学第5讲 数列通项公式与前n项和（解析版）.docx

第5讲 数列通项公式与前n项和
高考预测一：等差等比公式法求和
1．已知等比数列满足：，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，则由已知可得
解得
故．
（Ⅱ）若，则，
故是首项为，公比为的等比数列，
从而．
若，则是首项为，公比为的等比数列，
从而故．
综上，对任何正整数，总有．
故不存在正整数，使得成立．
2．记为等差数列的前项和．已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围．
【解析】解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，
若，则，变形可得，即，
若，则，
则，
（2）若，则，
当时，不等式成立，
当时，有，变形可得，
又由，即，则有，即，则有，
又由，则有，
则有，
综合可得：的取值范围是，．
高考预测二：裂项相消求和
3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）若等差数列满足，求，的通项公式；
（Ⅱ）若＝______，求数列的前项和．
在①；②；③这三个条件中任选一个补充到第（Ⅱ）问中，并对其求解．
【解析】解：（Ⅰ）设数列的公比为，则．
，
，①
，
，解得（舍负），
代入①得，，
；
则，，②
设数列的公差为，
，
则；
（Ⅱ）选择①：
，，
则，
．
选择②：
，，
则，
，
；
选择③：
由（Ⅰ）知；
．
．
．
4．为数列的前项和，已知，．
（1）求通项公式；
（2）设，数列的前项和，若，求整数值．
【解析】解：（1），，
，
，，
两式相减，得．
，
，
．
数列为常数列，
，所以．
（2）由（1）可得，
令，则，，
，
数列的前项和，
，，
若，且为整数，
当为奇数时，，，由，可得，
当为偶数时，，，由，可得，
．
5．记为数列的前项和．已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】解：（1）由题意，当时，，
整理，得，解得，或（舍去）．
当时，由，可得：
，
两式相减，可得，
整理，得，
，．
数列是首项为4，公差为3的等差数列．
数列的通项公式为，．
（2）由（1）知，．
故
．
6．已知数列为各项非零的等差数列，其前项和为，满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和．
【解析】解：由题设可得：，
，
；
由（Ⅰ）可得：，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
综上，．
7．已知数列满足，，数列满足，．
（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和．
【解析】（1）证明：，
，
又，
，
数列为首项、公比均为2的等比数列，
，
；
（2）解：由（1）可得：，即，
又，
当时，，
又当时，也适合上式，
，
，
．
高考预测三：错位相减求和
8．已知数列满足为实数，且，，，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求的值和的通项公式；
（Ⅱ）设，，求