人教版高中数学4 第4讲　利用导数证明不等式　新题培优练.doc

1．(2019·河南豫南九校联考)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)满足xf′(x)>1，则(　　)
A．f(2)－f(1)>ln 2　　　　　 B．f(2)－f(1)<ln 2
C．f(2)－f(1)>1 D．f(2)－f(1)<1
解析：选A.根据题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则xf′(x)>1⇒f′(x)>＝(ln x)′，即f′(x)－(ln x)′>0.令F(x)＝f(x)－ln x，则F(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，即f(2)－f(1)>ln 2.
2．若0<x1<x2<1，则(　　)
A．ex2－ex1>ln x2－ln x1
B．ex2－ex1<ln x2－ln x1
C．x2ex1>x1ex2
D．x2ex1<x1ex2
解析：选C.令f(x)＝，
则f′(x)＝＝.
当0<x<1时，f′(x)<0，
即f(x)在(0，1)上单调递减，因为0<x1<x2<1，
所以f(x2)<f(x1)，即<，
所以x2ex1>x1ex2，故选C.
3．已知函数f(x)＝aex－ln x－1.
(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.
由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.
从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.
当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．
(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.
设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.
当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，f(x)≥0.
4．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x－.
(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．
解：(1)f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．
因为f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)单调递增．
因为f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0，所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x1，即f(x1)＝0.
又0<<1，f＝－ln x1＋＝－f(x1)＝0，
故f(x)在(0，1)有唯一零点.
综上，f(x)有且仅有两个零点．
(2)证明：因为＝e－ln x0，故点B在曲线y＝ex上．
由题设知f(x0)＝0，即ln x0＝，连接AB，则直线AB的斜率
k＝＝＝.
曲线y＝ex在点B处切线的斜率是，曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处切线的斜率也是，所以曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．
5．(一题多解)(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex