2022届高考数学一轮复习（人教版）第4章 §4.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用.docx

§4.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
1．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
x
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
微思考
1．如图所示为函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象．利用零点代入求φ时，ωx1＋φ取哪些值？
提示　2kπ＋π，k∈Z.
2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？
提示　对称轴是直线x＝＋－(k∈Z)，
对称中心是点(k∈Z)．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　×　)
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　√　)
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　×　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　√　)
题组二　教材改编
2．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2,4π， B．2，，
C．2，，－ D．2,4π，－
答案　C
解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
3．函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．
答案　y＝sin x
解析　根据函数图象变换法则可得．
4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________．
答案　y＝10sin＋20，x∈[6,14]
解析　从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，
又×＝14－6，所以ω＝.
又×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以φ＝，
所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
题组三　易错自纠
5．y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．
答案　
解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.
6．将曲线C1：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为(　　)
A．y＝2sin 4x B．y＝2sin
C．y＝2sin x D．y＝2sin
答案　A
解析　将曲线C1：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，可得y＝2sin 2x的图象，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得曲线C2：y＝2sin 4x，故选A.
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (1)(2020·天津)已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f 是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
答案　B
解析　T＝＝2π，故①正确．
当x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
即x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，故②错误．
y＝sin x的图象y＝sin的图象，故③正确．
(2)(2020·江苏)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．
答案　x＝－
解析　将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，
所得图象的函数解析式为y＝3sin＝3sin.
令2x－＝kπ＋，k∈Z，
得对称轴的方程为x＝＋，k∈