2022届高考数学一轮复习（人教版）第6章 §6.2　等差数列及其前n项和.docx

§6.2　等差数列及其前n项和
考试要求　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列．
微思考
1．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？
提示　不一定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数．
2．若数列的前n项和为Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，则这个数列一定是等差数列吗？
提示　不一定．当C＝0时是等差数列.
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　√　)
(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　)
(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　√　)
题组二　教材改编
2．已知在等差数列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，则a9＝________.
答案　－17
解析　d＝a3－a2＝－2，∴a9＝a3＋6d＝－5＋6×(－2)＝－17.
3．已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则d＝________.
答案　2
解析　∵a4＋a8＝20，∴a1＋3d＋a1＋7d＝20，
即a1＋5d＝10，①
a7＝a1＋6d＝12，②
②－①得d＝2.
4．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________.
答案　126
解析　由已知可得解得
∴S9＝9a1＋d＝－90＋36×6＝126.
题组三　易错自纠
5．(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
答案　ABD
解析　S6＝S5＋a6>S5，则a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6<0，S8＝S7＋a8<S7，a8<0，则a9<0，又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5>S9，
由a7＝0，a6>0知S6，S7是Sn中的最大值．
从而ABD均正确．
6．在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．
答案　5或6
解析　∵|a3|＝|a9|，∴|a1＋2d|＝|a1＋8d|，
可得a1＝－5d，∴a6＝a1＋5d＝0，
且a1>0，∴a5>0，故Sn取最大值时n的值为5或6.
题型一 等差数列基本量的运算
1．(多选)(2019·全国Ⅰ改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　)
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5
C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
答案　ABC
解析　S4＝＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；
a5＝a1＋4d＝5，①
a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
联立①②得∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；
Sn＝－3n＋×2＝n2－4n，C正确，故选ABC.
2．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．