2022届高考数学一轮复习（人教版）第6章 §6.3　等比数列及其前n项和.docx

§6.3　等比数列及其前n项和
考试要求　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：
Sn＝
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at.
特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a.
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)若或则等比数列{an}递增．
若或则等比数列{an}递减．
微思考
1．若数列{an}满足an＋1＝qan(q≠0)，则{an}一定是等比数列吗？
提示　不一定．需验证a1≠0.
2．若数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}是等比数列吗？
提示　不一定．当q＝－1时不是等比数列．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列{an}的公比q>1，则该数列单调递增．(　×　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　×　)
(3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　√　)
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)
题组二　教材改编
2．已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若＝，则q的值为(　　)
A．－ B. C．2 D．－2
答案　B
解析　当q＝1时，＝1≠，∴q≠1.
当q≠1时，＝＝q5＝，
∴q＝.故选B.
3．已知数列{an}为等比数列，a2＝6,6a1＋a3＝30，则a4＝________.
答案　54或24
解析　由解得或
a4＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝3×8＝24.
4．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为_______．
答案　1,3,9或9,3,1
解析　设这三个数为，a，aq，则
解得或
∴这三个数为1,3,9或9,3,1.
题组三　易错自纠
5．(多选)若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是(　　)
A．若a1>0,0<q<1，则{an}为递减数列
B．若a1<0,0<q<1，则{an}为递增数列
C．若q>0，则S4＋S6>2S5
D．若bn＝，则{bn}是等比数列
答案　ABD
解析　A，B显然是正确的；
C中，若a1＝1，q＝，则a6<a5，即S6－S5<S5－S4，故C错误；
D中，＝＝(q≠0)，
∴{bn}是等比数列．
故选ABD.
6．已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5等于(　　)
A．－2 B．±2 C．2 D．±
答案　C
解析　∵a2·a3·a4＝1，∴a3＝1，
∵a6·a7·a8＝64，∴a7＝4，
又a＝a3·a7＝4，a5与a3同号，
∴a5＝2.故选C.
题型一 等比数列基本量的运算
1．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则等于(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
答案　B
解析　方法一　设等比数列{an}的公比为q，
则q＝＝＝2.
由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.
所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝2n－1，
所以＝＝2－21－n.
方法二　设等比数列{an}的公比为q，
则
得＝q＝2.
将q＝2代入①，解得a3＝4.
所以a1＝＝1，下同方法一．
2．(2020·广东外国语学校模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝，＋＋＝，则S3等于(　　)
A. B. C.