2022届高考数学一轮复习（人教版）第9章 §9.1　随机抽样、用样本估计总体.docx

§9.1　随机抽样、用样本估计总体
考试要求　1.理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样的方法.2.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．
1．随机抽样
(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
2．用样本的频率分布估计总体分布
(1)在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积的总和等于1.
(2)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
(3)茎叶图
茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
3．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则
中间两数的平均数是中位数．
(3)平均数：＝，反映了一组数据的平均水平．
(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s＝
 .
(5)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．
微思考
1．三种抽样方法有什么共同点和联系？
提示　(1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等．
(2)系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样．
2．平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征？
提示　平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(　×　)
(2)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　×　)
(3)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．(　×　)
(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　√　)
题组二　教材改编
2．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(　　)
A．33,34,33 B．25,56,19
C．20,40,30 D．30,50,20
答案　B
解析　设在不到35岁的员工中抽取x人，则＝，所以x＝25，同理可得这三个年龄段抽取人数分别为25,56,19.
3．某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是(　　)
环数
5
6
7
8
9
10
人数
1
2
7
6
3
1
A．7,7 B．8,7.5
C．7,7.5 D．8,6
答案　C
解析　从表中数据可知7环有7人，人数最多，所以众数是7；
中位数是将数据从小到大排列，第10个与第11个数据的平均数，第10个数是7，第11个数是8，所以中位数是＝7.5.
4．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量在[2,2.5)范围内的居民有______人．
答案　25
解析　0.5×0.5×100＝25.
题组三　易错自纠
5．已知一组数据的频率分布直方图如图，则众数是______，平均数是________．
答案　65　67
解析　因为最高小长方形中点的横坐标为65，
所以众数为65；
平均数＝(55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67.
6．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为________．
答案　16,18
解析