2023年高考数学二轮复习（人教版）第1部分 专题突破 专题4　微重点14　与空间角有关的最值问题.docx

微重点14　与空间角有关的最值问题
立体几何动态问题中，空间角的最值及范围问题是高考的常考题型，常与图形翻折、点线面等几何元素的变化有关，常用方法有几何法、函数(导数)法、不等式法等．主要是利用三角函数值比较及最小角定理(线面角是最小的线线角，二面角是最大的线面角)等求解．
考点一　空间角的大小比较
例1　(2022·嘉兴质检)已知长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1＝a，AB＝b，且a＞b，侧棱CC1上一点E满足CC1＝3CE，设异面直线A1B与AD1，A1B与D1B1，AE与D1B1所成的角分别为α，β，γ，则(　　)
A．α＜β＜γ B．γ＜β＜α
C．β＜α＜γ D．α＜γ＜β
答案　A
解析　以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)，
∵长方体ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，
AA1＝a，AB＝b，且a＞b，
侧棱CC1上一点E满足CC1＝3CE，
∴A1(b，0，a)，B(b，b，0)，A(b，0,0)，D1(0,0，a)，
B1(b，b，a)，E，＝(0，b，－a)，
＝(－b，0，a)，＝(b，b，0)，
＝，
cos α＝＝＝，
cos β＝＝，
cos γ＝＝0，
∵a＞b＞0，∴cos α＞cos β＞cos γ＝0，∴α＜β＜γ.
规律方法　(1)最小角定理：直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角中最小的角(线面角是最小的线线角)．
(2)最大角定理：二面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大角(二面角是最大的线面角)．
跟踪演练1　设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P－AC－B的平面角为γ，则(　　)
A．β<γ，α<γ B．β<α，β<γ
C．β<α，γ<α D．α<β，γ<β
答案　B
解析　由题意，直线PB与直线AC所成的角α大于直线PB与平面ABC所成的角β，即β<α，而直线PB与平面ABC所成的角β小于二面角P－AC－B的平面角γ，所以β<γ.
考点二　空间角的最值
例2　(2022·绍兴模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是BC，B1C1的中点，点P是截面AB1C1D(包括边界)上的动点，D1P＝，2＝，则EP与平面AB1C1D所成最大角的正切值为________．
答案　
解析　取DC1的中点O，连接D1O，OP，D1P，作MS⊥平面AB1C1D于点S，ET⊥平面AB1C1D于点T(图略)，由正方体性质可知D1O⊥平面AB1C1D，
则OP＝
＝＝，
则点P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆与平面AB1C1D的交线，又M到平面AB1C1D的距离为MS＝，因为2＝，
所以E到平面AB1C1D的距离为ET＝，
则∠EPT为直线EP与平面AB1C1D的夹角，当O，T，P共线时，PT最小，
tan∠EPT＝的值最大，
OS＝1，ST＝×＝，
所以OT＝＝，
即PT＝－，
tan∠EPT＝＝＝.
规律方法　求空间角最值、范围的两种常用方法
(1)利用空间角的定义及几何图形找到空间角，构造三角形，利用三角函数的比值构造函数求最值、范围．
(2)建立空间坐标系，利用坐标运算求空间角的三角函数值，构造函数求最值、范围．
跟踪演练2　(2022·内江模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为线段A1D的中点，N为线段CD1上的动点，则直线C1D与直线MN所成角的正弦值的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则M(1,0,1)，C(0,2,0)，
C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，
＝(0，－2,2)，
＝(0，－2，－2)，
设＝λ(0 ≤ λ ≤ 1)，则N(0，－2λ＋2,2λ)，
∴＝(－1，－2λ＋2,2λ－1)，
设直线C1D与直线MN所成角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝
＝
＝，
由＝≥，
当且仅当λ＝时等号成立，
∴cos θ＝≤，则sin θ≥，
∴直线C1D与直线MN所成角的正弦值的最小值为.
考点三　空间角的范围
例3　如图1，在平面多边形ABCDE中，四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形．将△ADE所在平面沿AD折叠，使得点E达到点S的位置(如图2)．若二面角S－AD－C的平面角θ∈，则异面直线AC与SD所成角的余弦值的取值范围是(　　)
A.