2024年高考数学一轮复习（人教版） 第8章　§8.11　圆锥曲线中范围与最值问题.docx

§8.11　圆锥曲线中范围与最值问题
题型一　范围问题
例1　(2023·淄博模拟)已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．
解　(1)由题意知，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为(－，0)，
根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为＋＝4，
即2a＝4，所以a＝2，
又因为c＝，可得b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．
故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以kOA＋kOB＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝，
由kOA＋kOB＝－，可得m2＝4k＋1，
所以k≥－，
又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1，
综上可得，直线l的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)．
思维升华　圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系
．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
跟踪训练1　(2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y0)到其焦点F的距离为2.
(1)求实数p的值；
(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围．
解　(1)因为点C(1，y0)到其焦点F的距离为2，
由抛物线的定义知1＋＝2，
解得p＝2.
(2)由(1)可知，抛物线E：y2＝4x，
设A，B(y1≠0，y2≠0)，
设l：x＝ty＋1，联立得y2－4ty－4＝0，
判别式Δ＝16t2＋16>0，故t∈R，
y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
设l1：y－y1＝k，
联立方程组
消去x，整理得ky2－4y＋4y1－ky＝0，
所以Δ＝16－4k(4y1－ky)
＝4(4－4ky1＋k2y)＝0，
所以k＝，
则l1：y－y1＝，
即y＝x＋，
令x＝0，得M，
同理l2：y＝x＋，N，
联立
得交点Q的横坐标为xQ＝＝－1，
∴S△QMN＝|MN|·|xQ|＝×1＝＝≥1，
∴△QMN面积的取值范围是[1，＋∞)．
题型二　最值问题
例2　(2022·苏州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点A，B的中点为M