人教版高中数学5.1 三角函数的定义（精讲）（提升版）（解析版）.docx

5.1 三角函数的定义（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 扇形的弧长与面积
【例1-1】（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．
【答案】
【解析】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积
所以莱洛三角形的面积是.故答案为：

【例1-2】（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练****已知点，是圆：上两点，动点
从出发，沿着圆周按逆时针方向走到，其路径长度的最小值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设点在的终边，在的终边上，设,
，优弧的圆心角为
弧长=，故选:C
【例1-3】（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练****文））在长方体中，，，，点P在长方体的面上运动，且满足，则P的轨迹长度为（       ）
A．12π B．8π C．6π D．4π
【答案】C
【解析】如图，在左侧面的轨迹为弧，在后侧面的轨迹为弧，在右侧面的轨迹为弧，在前侧面内的轨迹为弧.
易知，，又，，∴，则，
∴P的轨迹长度为6π，故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，所以，
设的外接圆的圆心为O，半径为R，如图所示，
由正弦定理得，所以，
内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，
则弓形的面积为，
外侧的圆弧以为直径，所以半圆的面积为，
则月牙形的面积为.故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练****在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为________.
【答案】
【解析】如图，在棱长为6的正方体中，
则平面，平面，
又，在平面上，，，
又，，
，即，
如图，在平面中，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
则，，，
由，知，
化简整理得，，圆心，半径的圆，
所以点的轨迹为圆与四边形的交点，即为图中的
其中，，，则
由弧长公式知
故答案为：.
3．（2022·上海·高三专题练****若球的半径为（为常量），且球面上两点，的最短距离为，经过，两点的平面截球所得的圆面与球心的距离为，则在此圆面上劣弧所在的弓形面积为___________.
【答案】
【解析】因为球的半径为，球面上两点，的最短距离为，所以，
设经过，两点的平面截球所得的圆面为圆，则平面，且，
所以截面圆圆的半径，
连接，因为，，所以线段，
在中，，，
由余弦定理可得：，所以，
所以在此圆面上劣弧所在的弓形面积为扇形的面积减去的面积，
即为： ，故答案为：.
考点二 三角函数的定义
【例2-1】（2022·河南）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的值是（       ）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【解析】．
因为，，，所以，所以，故选：D．
【例2-2】（2022·全国·模拟预测）已知角，的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，角的终边过点，将角的终边顺时针旋转得到角的终边，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，点到原点的距离为，，，.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（文））在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线对称，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】角和角的终边关于直线对称，则，．
．故选：C．
2．（2022·新疆昌吉·一模（文））在平面直角坐标系中，已知角的终边与圆相交于点，角满足，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数定义可知，，
，，，故选：．
3．（2022·重庆八中高三阶段练****在平面直角坐