人教版高中数学第4讲 函数与导数解答题 (解析版）.docx

第4讲　函数与导数解答题
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：分离变量法与不等式恒（能）成立问题
突破二：分类讨论法与不等式恒（能）成立问题
突破三：同构法与不等式恒（能）成立问题
突破四：端点效应与不等式恒（能）成立问题
突破五：最值定位法解决双参不等式问题
突破六：值域法解决双参等式问题
突破七：单变量不等式证明
角度1：构造函数，利用单调性证明不等式
角度2：构造函数，利用最值证明不等式
角度3：等价转化与不等式证明
角度4：超越放缩与不等式证明
突破八：利用导数证明双变量不等式
角度1：分离双参，构造函数
角度2：糅合双参（比值糅合）
角度3：糅合双参（差值糅合）
角度4：利用指数（对数）平均不等式解决双变量问题
第一部分：知识强化
1、不等式恒成立(能成立)求参数范围的类型与解法
（1）分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
（2）分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
（3）等价转化法
当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
2、最值定位法解决双参不等式问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
3、值域法解决双参等式问题（任意——存在型）
,,使得成立
①，求出的值域，记为
②求出的值域，记为
③则,求出参数取值范围.
4、值域法解决双参等式问题（存在——存在型）
,,使得成立
①，求出的值域，记为
②求出的值域，记为
③则,求出参数取值范围.
5、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）
（1）对数型超越放缩：（）
上式（1）中等号右边只取第一项得：结论①
用替换上式结论①中的得：结论②
对于结论②左右两边同乘“”得，用替换“”得：
（）结论③
（2）指数型超越放缩：（）
上式（2）中等号右边只取前2项得：结论①
用替换上式结论①中的得：结论②
当时，对于上式结论②结论③
当时，对于上式结论②结论④
6、指数不等式法
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
7、对数均值不等式法
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
第二部分：重难点题型突破
突破一：分离变量法与不等式恒（能）成立问题
1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知，若对任意的不等式恒成立，则实数的最小值为_______.
【答案】
【详解】恒成立，等价于，
令，则，
则，所以当时都有，所以单调递增.
所以不等式转化为，即，即，即，即.
令，则.
当都有，所以单调递增；当时，都有，所以单调递减.
所以
所以，即的最小值为.
故答案为：.
2．（2022·黑龙江·高二期中）已知，若存在，使不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】时，不等式可化为，
因为存在使不等式恒成立，
所以只需，
设，，
则，，
所以在上为增函数，
所以，所以，，
所以整理可得，
设，
所以，令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，则在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围是
3．（2022·贵州毕节·三模（文））函数．
(1)讨论函数零点的个数；
(2)若对，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上有唯一零点
(2)
(1)
解：函数的定义域为，
所以
在上恒成立，即在上为增函数，
且
在上有唯一零点
(2)
解：由题意得：在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
所以
令
，
在上单调递增，在上单调递减，
4．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，函数在上恒成立，求整数的最大值.
【答案】(1)见解析
(2)
(1)
（1）
若时，，在上单调递增；
若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，