人教版高中数学第7讲　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直.doc

第7讲　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
一、选择题
1.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l⊂α D.l与α相交
解析　∵n＝－2a，∴a与平面α的法向量平行，∴l⊥α.
答案　B
2.若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.在平面内 D.平行或在平面内
解析　∵＝λ＋μ，∴，，共面.
则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
答案　D
3.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A.P(2，3，3) B.P(－2，0，1)
C.P(－4，4，0) D.P(3，－3，4)
解析　逐一验证法，对于选项A，＝(1，4，1)，
∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，
∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.
答案　A
4.(2017·西安月考)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有(　　)
A.B1E＝EB
B.B1E＝2EB
C.B1E＝EB
D.E与B重合
解析　分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)，∵·＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B1E＝EB.
答案　A
5.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上说法正确的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确.
答案　C
二、填空题
6.(2017·武汉调研)已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.
解析　设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，
由m·＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，
由m·＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，
∴m＝(1，1，1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.
答案　α∥β
7.(2016·青岛模拟)已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.
解析　由条件得解得x＝，y＝－，z＝4，
∴x＋y＝－＝.
答案　
8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的序号是________.
解析