2022届高考数学一轮复习（人教版）第5章 §5.2　平面向量基本定理及坐标表示.docx

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示
考试要求　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，
|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
微思考
1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？
提示　不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．
2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？
提示　不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(　×　)
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　×　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　)
题组二　教材改编
2．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是(　　)
A.＝3 B.＝－2
C.＋＝0 D.＝
答案　ABC
3．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
答案　(1,5)
解析　设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即解得
4.如图，，不共线，且＝t(t∈R)，用，表示＝__________________.
答案　(1－t)＋t
解析　∵＝t，
∴＝＋
＝＋t
＝＋t(－)
＝＋t－t
＝(1－t)＋t.
题组三　易错自纠
5．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可作为这一个平行四边形所在平面的一个基底的是(　　)
A.， B.，
C.， D.，
答案　AC
解析　平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，
对于A，与不共线，可作为基底；
对于B，与为共线向量，不可作为基底；
对于C，与是两个不共线的向量，可作为基底；
对于D，与在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．
6．(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)
A．(4,8) B．(4，－8)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
答案　BD
解析　设b＝，依题意有
解得或
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a－b
C．－a－b D．－a＋b
答案　C
解析　＝＋
＝＋
＝(－)－
＝－－＝－a－b.
(2)(2021·郑州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________.
答案　
解析　由题图可设＝x(0<x<1)，
则＝x(＋)＝x＝＋x.
因为＝λ＋μ，与不共线，
所以λ＝，μ＝x，所以＝.
思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运