2022届高考数学一轮复习（人教版）第10章 §10.5　离散型随机变量的分布列、均值与方差.docx

§10.5　离散型随机变量的分布列、均值与方差
考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.2.了解超几何分布，并能进行简单应用.3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题．
1．离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．
其中p＝P(X＝1)，称为成功概率．
3．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
4．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b为常数)
5．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，即
X
0
1
…
m
P
…
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
微思考
1．某电子元件的使用寿命x1，掷一枚骰子，正面向上的点数x2，思考x1，x2可作为离散型随机变量吗？
提示　x1不可作为离散型随机变量，x2可作为离散型随机变量．
2．期望和算术平均数有何区别？
提示　期望刻画了随机变量取值的平均水平；而算术平均数是针对若干个已知常数来说的．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　√　)
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　√　)
(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　√　)
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此对立的．(　×　)
题组二　教材改编
2．设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P
p
则p为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，
∴p＝1－＝.
3．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)
A. B．4 C．－1 D．1
答案　A
解析　E(X)＝－＋＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
4．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________．
答案　0
解析　∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，
∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.
题组三　易错自纠
5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球
B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
答案　C
解析　选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.
6．若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0