2024年高考数学一轮复习（人教版） 第2章　§2.4　函数的对称性.docx

§2.4　函数的对称性
考试要求　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．
知识梳理
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．
2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　)
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．(　×　)
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　×　)
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　√　)
教材改编题
1．函数f(x)＝图象的对称中心为(　　)
A．(0,0) B．(0,1)
C．(1,0) D．(1,1)
答案　B
解析　因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y＝关于(0,0)对称，
所以f(x)＝1＋的图象关于(0,1)对称．
2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．
答案　f(－4)>f(1)
解析　∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，
∴f(x)关于直线x＝－2对称，
又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，
∴f(－4)＝f(0)>f(1)，
故f(－4)>f(1)．
3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.
答案　5
解析　∵f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
由f(x)的图象关于x＝2对称，
可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.
题型一　轴对称问题
例1　(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)等于(　　)
A．－2 B．2 C．0 D．－4
答案　B
解析　定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，
故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(x)＝f(2－x)，
故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数．
则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞