人教版2021届大题优练12 导数研究根的个数问题 教师版.docx

导数研究根的个数问题
大题优练12
优选例题
例1．已知函数，（）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）定义域为，，
令，解得．
当时，在上恒成立，在上单调递增；
当时，若时，；若时，，
在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）令，则，
过点作的切线，设切点为，
则切线斜率，解得，
切线斜率，
若有两个零点，则与有两个不同的交点，
如下图所示：
由图象可知：当时，与有两个不同的交点，
即若函数有两个零点，的取值范围为．
例2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设函数，若在上有且只有一个零点，求m的取值范围．
【答案】（1）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，
在上单调递增；（2）或．
【解析】（1），
①若，则，∴在R上单调递增；
②若，令，则．
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意知，则，
易知在上单调递增，且．
①若，则，∴在上单调递增，
∵在上有且只有一个零点，，，
∴，即，
∴当时，在上有且只有一个零点；
②若，则，，
∴存在，使，即，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，在上有且只有一个零点，
∴，即．
把代入上式可知，
因为，∴，从而．
综上，当或时，在上有且只有一个零点．
例3．已知函数．
（1）当时，一次函数对任意，恒成立，求的表达式；
（2）讨论关于x的方程解的个数．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）当时，函数，
可设，则，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
又因为，所以，
设，
因为，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，解得，所以，
又由，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为，所以，
综上．
（2）由方程，整理可得，
即，可得，
令，可得，即，
设，可得．
①当时，可得，此时单调递减，
又由，所以此时函数在上只有一个零点，即方程只有一个零点；
②当可得，
令，则．
（i）当时，即时，可得，即，此时单调递增，
又由，所以此时函数在上只有一个零点，即方程只有一个零点；
（ii）当时，即时，
此时，即方程有两解，
且，，不妨设，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递减，
当时，函数取得极大值，当，函数取得极小值，
又因为，所以，，
当时，，
所以在上有唯一的解．
因为时，，
当时，可得，
所以且，解得，所以在上恰有一根，
所以可得函数在上恰有三根，
综上可得，当或时，方程恰有一根；
当时，方程恰有三根．
模拟优练
1．已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），在处取得极值，
，所以．
经验证时，在处取得极值．
（2）由（1）知，，
所以极值点为，．
将，，在内的取值列表如下：
0
1
2
/
-
0
+
/
极小值
由此可得，在内有零点，只需，所以．
2．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，
，
所以曲线在点处的切线的斜率．
又，所以切线的方程为，
即，
所以切线与两坐标轴的交点坐标分别为，，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
（2）方程，即，
因为，所以分离参数得．
记，则，
记，则，
记，
显然，所以函数在上单调递减，
故当时，，
所以当时，，函数在上单调递减，
而，所以函数在上有且仅有一个零点．
所以当时，，即，函数单调递增；
当时，，即，函数单调递减，
所以当时，，
而，，
由题意，原方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解，
即直线与函数的图象有两个不同的交点，
数形结合可得实数的取值范围为．
3．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．
【答案】（1）