人教高中数学第10讲 高考难点突破二：圆锥曲线的综合问题（定值问题） (精讲）（教师版）.docx

第10讲 高考难点突破二：圆锥曲线的综合问题（定值问题）(精讲）
目录
题型一：椭圆中的定值问题
角度1：椭圆中的定值问题
角度2：椭圆中的定直线问题
题型二：双曲线中的定值问题
角度1：双曲线中的定值问题
角度2：双曲线中的定直线问题
题型三：抛物线中的定值问题
角度1：抛物线中的定值问题
角度2：抛物线中的定直线问题
题型一：椭圆中的定值问题
角度1：椭圆中的定值问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练****已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值.
【答案】(1)
(2)为定值4，证明见解析
(1)当P为短轴端点时，的面积最大，，故解得，故椭圆的方程为.
(2)由（1）知，,设直线，,，
联立整理得，
由得，，
,，
故为定值4.
例题2．（2022·云南玉溪·高二期末）已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．
【答案】(1)(2)证明见解析，定值为
(1)解：圆的圆心为，半径，
由点在的垂直平分线上，得，
所以，
所以的轨迹是以A，为焦点的椭圆，，，
所以，，，
所以的方程为；
(2)证明：①当直线的斜率不存在时，易知，
②当直线的斜率存在时，设：，，，
则把代入得，
显然，有，，
，
所以，
综上所述，为定值．
例题3．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知，分别是椭圆：的左、右顶点，是直线上的一动点(的纵坐标不为零且不在椭圆上)，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为，直线与轴的交点为，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：当M为椭圆的上(下)顶点时，△AMB的面积最大，
则，解得，
所以椭圆E的方程为..
(2)证明：设P(－1，t)(且)，，，则直线AP的方程为，直线BP的方程为，
设点M(，)，N(，)，
联立方程组消去y，整理得.
则，因为，所以，.
同理可得.
因为且，所以，
则直线MN的方程为，
令，得.
则.
例题4．（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆的右焦点为，上顶点为，为坐标原点，，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点且斜率不为的直线与椭圆相交于，两点，点，．若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)由，得（c为半焦距），
∵点在椭圆E上，则．
又，解得，，．
∴椭圆E的方程为．
(2)由（1）知．设直线，，．
由消去x，得．
显然．
则，．
∴．
由，，得直线AP的斜率，直线的斜率．
又，，，
∴．∴．
∵．
∴．
同类题型归类练
1．（2022·江西·高三阶段练****理））已知，为椭圆：的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，过点的直线交于，两点.
(1)求的方程；
(2)若直线的斜率不为0，过，作直线的垂线，垂足分别是，，设与交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)解：因为过且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，
所以，①                    
因为的右焦点为，所以，②
联立①②可得，，
所以的方程为.
(2)证明：当直线的斜率不存在时，易知，，，
所以.                    
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立与，
得，
设，，
则，，恒成立，       
由题可知，，
则的方程为，①
的方程为，②
②－①得，       
因为，所以
，
所以
，
所以，所以的横坐标为，             
又，，所以为垂直平分线上一点，所以.
综上，.
2．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）设椭圆：的离心率为，焦距为2，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，点，设直线与直线的斜率分别为，.
(1)求椭圆的方程；
(2)随着直线的变化，是否为定值？请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析
(1)因为焦距，所以，
因为离心率，所以，
所以，
所以椭圆的方程为.
(2)当直线l斜率为0，即为x轴时，
则，