人教版2021届大题优练1 解三角形 教师版.docx

解三角形
大题优练1
优选例题
例1．的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知及正弦定理，得，
∴，
∵，∴，∴．
又∵，∴．
∵，∴．
（2）由已知及余弦定理，得，
，
化简，得．
又∵，∴，
∴的面积．
例2．设函数．
（1）求的最小正周期和值域；
（2）在锐角中，角､､的对边长分别为､､．若，，求
周长的取值范围．
【答案】（1），值域为；（2）．
【解析】（1）
，
，值域为．
（2）由，可得，
因为三角形为锐角，所以，即，，
由正弦定理，得，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，，
即，解得，
所以，，
即，
所以周长的取值范围为．
例3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，，且．
（1）求角；
（2）若，求的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）最大值为．
【解析】（1）因为，所以，
由，得，，，
所以，
所以，即，
又因为，，
所以，．
（2）因为，且，，
又因为，(当且仅当时等号成立)，
所以，
即的面积的最大值为．
例4．已知中，．
（1）求证：是钝角；
（2）若同时满足下列四个条件中的三个：
①；②；③；④．
请指出这三个条件，说明理由，并求出的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）只有满足①②③时，．
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
在三角形中，，且，
所以不等式整理为，
即，
在三角形中可得，所以，所以得证为钝角．
（2）（i）若满足①②③，则正弦定理可得，
即，所以，
又，所以，
在三角形中，，所以或，
而由（1）可得，所以可得，，
所以．
（ii）若满足①②④，由（1）为钝角，，为锐角，
及，可得，，
所以不符合为钝角，故这种情况不成立．
（iii）若满足②③④，由为钝角，，
所以，而，所以，这时，
不符合为钝角的情况，所以这种情况不成立．
综上所述：只有满足①②③时，．
模拟优练
1．的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）记边上的高为，求；
（2）若，，求．
【答案】（1）2；（2）或2．
【解析】（1），
由正弦定理可得，
化为，
∴，
∵，∴．
（2）由（1）有，∴，即．
由余弦定理可得，
∴，可得，
∴，
化为，解得或4，
解得或2．
2．如图，在中，，，点在边上，，为锐角．
（1）若，求线段的长度；
（2）若，求的值．
【答案】（1）7；（2）．
【解析】（1）在中，由余弦定理得，
∴或．
当时，，则，不合题意，舍去；
当时，，则，符合题意，
∴．
在中，，
∴或（舍），
∴．
（2）记，则．
在中，，∴为锐角，
得，，
即，．
法一：，同理．
由，知，
∴．
法二：，，
∴．
3．在中，已知角，，的对边分别为，，，若，．
（1）求角的大小；
（2）若的平分线交于点，的面积为，求线段的长度．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，，∴，
即，得，
又，∴，可知，解得．
（2）设，由是的平分线，有，
在中，由正弦定理得，所以．
又的面积为，所以，
∴，即．
4．已知的三个内角，，的对边分别是，，，且．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）6．
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，，所以，所以．
（2）因为的面积为，所以，
因为，所以，所以．
由余弦定理得，
因为，，
所以，所以．
5．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由正弦定理，得，，，
又，所以．
由余弦定理，得，故．
又，所以．
（2）由余弦定理，得．
联立方程组，得，化简得，解得，
所以的面积．
6．的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，
∵，所以，
由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得．
（2）由，得，
∵，∴，
由，得，
∴，当且仅当时，等号成立．
又，当且仅当时，等号成立．
∴，当且仅当时，等号成立．
即的最小值为．
7．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值．