人教版2021届大题优练2 数列 教师版.docx

数列
大题优练2
优选例题
例1．已知数列的前n项和为，，，且．
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，
并加以解答．
已知数列满足________，求的前n项和．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
【答案】（1）证明见解析，；（2）答案见解析．
【解析】（1）当时，因为，所以，
两式相减得，所以．
当时，因为，所以，
又，故，于是，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列．
所以，两边除以，得．
又，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，即．
（2）若选①：，即，
因为，
所以．
两式相减得
，
所以．
若选②：，即，
所以
．
若选③：，即，
所以
．
例2．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，．数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求证：．
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【解析】（1）设数列的公比为，
由，得，
又，得，解的或（舍去），
∴．
又，
∴，即，得．
当时，，
得，
∴，即，
∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
故．
（2）由（1），记，则，
由，
可知．
当为奇数时，；
当为偶数时，，
综上所述，．
例3．如图，在平面直角坐标系中，已知个圆、、、与轴和直线均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆．
（1）求数列的通项公式；
（2）记个圆的面积之和为，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，且直线过点，
在直线上，，如下图所示：
设圆、分别切轴于点、，过点作，垂足为点，
则，其中，，，
，
可得，
，则，
为等比数列且首项为，公比为，
．
（2）
．
模拟优练
1．已知等差数列的公差为，前项和为，且．
（1）求公差的值；
（2）若，是数列的前项和，求使不等式成立的的最小值．
【答案】（1）；（2）5．
【解析】（1）由，即，
化简得，解得．
（2）由，，得，
所以，
所以，
由，解得，
所以n的最小值为5．
2．已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
当时，，即，
当时，，
，，
验证知，当时，也成立．
综上，．
（2）据（1）求解知，．
又，，，
数列的前项和，①
，②
①-②，得，
，．
3．已知数列的前项和为，若()，且的最大值为25．
（1）求的值及通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），()；（2）．
【解析】（1）由题可得，，
所以当为偶数时，，解得；
当为奇数时，，此时无整数解，
综上可得：，．
①时，．
②当时，，
当时也成立．
综上可得：，
所以，()．
（2），①
②
两式相减得，
，
则，则．
4．已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的首项，其前项和为，且 ，若数列满足，的前项和为，求的最小值．
在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．
①；②；③．
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【解析】（1）设数列的公比为，
则由前3项和为13，且，，成等差数列，
得，所以，
所以，即，解得或，
又因为是递增的等比数列，所以，所以，所以，
所以．
（2）选择①
因为，所以，
两式相减得，即，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故，
因此，
因为恒成立，即，，，…，
所以．
选择②
由知是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，
所以，
因为，即，，，…，
所以．
选择③
由知是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，所以，
当n为奇数时，由于，故；
当n为偶数时，由于，故，
由在n为偶数时单调递增，