人教版2021届小题必练13 导数及其应用-教师版.docx

2017年高考“最后三十天”专题透析
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（新高考）小题必练13：导数及其应用
1．根据导数几何意义求解函数切线问题．
2．根据导数正负求解函数单调性．
3．利用函数极值点求函数最值．
4．通过导数求出单调性和极值，分析函数图象讨论求解恒成立问题．
1．【2020全国Ⅰ卷文】曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，
设切点为，则，得，
∴，∴切点坐标为，
∴切线方程为，即．
【点睛】设出切点，根据导数几何意义求出切点坐标，由点斜式求出切线方程．
2．【2020全国Ⅲ卷文】设函数，若，则________．
【答案】
【解析】，，解得．
【点睛】求出，根据，求出．
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一、单选题．
1．若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】显然，不是函数的零点，令，得，
构造函数，，则，
令，得到；令，得到且，
即函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数有极小值，
画出函数的图象，如图所示，
由图像可知，
当时，直线与的图象不可能有两个交点；
当，只需，的图象与直线即有两个不同的交点，
即函数恰有两个不同的零点，
∴的取值范围为，故选B．
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2．函数在区间上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于函数，．
当时，；当时，．
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以，，故选C．
3．已知函数，则其单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，函数定义域为，
求导，令，得或（舍去），
所以单调增区间是，故选A．
4．函数是上的单调函数，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数是上的单调函数，
即或(舍)在上恒成立，
，解得，故选D．
5．已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】B
【解析】设切点坐标为，
，，直线的斜率为，
所以，直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程得，解得，
因此，直线的斜率为，故选B．
6．已知函数的图像与x轴切于点，则的极值为（ ）
A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为
C．极小值为，极大值为0 D．极小值为0，极大值为
【答案】A
【解析】由题意，函数，则，
因为函数的图像与轴切于点，
则，且，
联立方程组，解得，，
即，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以函数的极大值为，极小值为，故选A．
7．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的
导函数），则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：令，因，
故由题设可得，即函数在上单调递增且是偶函数．
又因，故，即，
所以，故应选D．
8．已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由恰有个零点，即方程恰有个实数根．
即函数的图像与的图像有三个交点，如图．
与函数的图像恒有一个交点，即函数与有两个交点．
设与函数相切于点，
由，所以，得，
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所以切点为，此时，切线方程为，
将向下平移可得与恒有两个交点，
所以，故选D．
二、多选题．
9．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有个零点
C．存在正整数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
【答案】BD
【解析】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数，
∴时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增，
∴是的极小值点，故A错误；
对于B选项，，∴，
∴函数在上单调递减，
又∵，，
∴函数有且只有1个零点，故B正确；
对于C选项，若，可得