人教版第15讲 解三角形及其应用（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第15讲 解三角形及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
余弦定理
正弦定理
公式
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
＝＝＝2R
常见变形
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
4.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
5.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
6.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
7.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
考点和典型例题
1、利用正、余弦定理解三角形
【典例1-1】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
根据正弦定理得，得，
所以.
故选：C.
【典例1-2】（2022·江西·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】
由已知及正弦定理得，所以，所以＝.
故选：C.
【典例1-3】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．则的值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
在中，因为，，，
由正弦定理得： ，解得：.
因为，所以.
所以.
故选：C
【典例1-4】（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，则，
整理得，
所以即，
则，
∵，所以.
故选：B.
【典例1-5】（2022·天津·耀华中学一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，.
(1)求的值；
(2)求；
(3)求的值.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)
由余弦定理可得：，解得或（舍去），故
(2)由正弦定理 ,故
(3)由（2）知：，则，故,
所以
【典例1-6】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，，，.
(1)若，求的值；
(2)若，求BE的长.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
过B作于F.
∵，，
∴，在直角中，，
∴，
∴.
(2)连接BD.在中，，，，由余弦定理，得
在中，，，由余弦定理，得.
在中，，，由余弦定理，得.
∵，得
∴，得，（负值舍去）.
∴.
【典例1-7】（2022·全国·高三专题练****理））如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.
(1)求B；
(2)若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积；②.
【答案】(1)；(2)选①；选②.
【解析】(1)
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
(2)选①，因为的面积，
所以，
即，，由余弦定理得
所以，
所以