人教版第19讲 等比数列及其求和（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第19讲 等比数列及其求和
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.等比数列的概念
(1)定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则a＝ap·aq.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
考点和典型例题
1、等比数列基本量的运算
【典例1-1】（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列中，，且，则（       ）
A．1024 B．960 C．768 D．512
【答案】A
【详解】
解：依题意设公比为，且、，由，则，即，所以，
因为，所以，所以，所以，所以；
故选：A
【典例1-2】（2022·山东日照·三模）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（       ）
A．14 B．34 C．41 D．86
【答案】C
【详解】
因为成公比为3的等比数列，可得，所以
又因为数列为等差数列，所以公差，
所以，
所以，解得.
故选：C.
【典例1-3】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（       ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【详解】
设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
所以，
化为：，解得．
故选：D
【典例1-4】（2022·新疆喀什·高三期末（理））70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的倍，那么训练n天产生的总数据量为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据题意可知每天产生的数据量是以为首项，（）为公比的等比数列，
所以训练n天产生的总数据量为，
故选：D
【典例1-5】（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知正项等比数列满足，则的最小值为（       ）
A．16 B．24 C．32 D．8
【答案】C
【详解】
等比数列满足，且公比，则，，，，当且仅当时等号成立．
故选：C.
【典例1-6】（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为
；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（       ）
（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
依题意，以标准对数视力为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力为该数列第3项，
标准对数视力对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为，
因此，标准对数视力对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为.
故选：D
2、等比数列的判定与证明
【典例2-1】（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）（多选）已知为数列的前项之和，且满足 ，则下列说法正确的是（       ）
A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2
C．可能为等比数列 D．的最小值为0，最大值为20
【答案】BCD