人教版高考重点突破课一 三角函数与解三角形.doc

题型一　利用正、余弦定理解三角形
例1 (12分)(2021·北京卷)已知在△ABC中，c＝2bcos B，C＝.
(1)求B的大小；
(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度.
①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝.
[规范答题]
解　(1)由正弦定理＝，得sin C＝，
又c＝2bcos B，所以sin C＝2sin Bcos B＝sin 2B，
又A，B，C为△ABC的内角，C＝，
故C＝2B(舍)或C＋2B＝π，即B＝，
又A＋B＋C＝π，所以A＝.……………………5分
(2)由(1)知，c＝b，故不能选①. ……………………7分
选②，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，
故周长为(4＋2)x＝4＋2，解得x＝1.
从而BC＝AC＝2，AB＝2.……………………9分
设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得
cos B＝＝＝，
解得AD＝.故BC边上的中线长为.……………………12分
选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，故
S△ABC＝·2x·2x·sin 120°＝x2＝，
解得x＝，从而BC＝AC＝，AB＝3. ……………………9分
设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得
cos B＝
＝＝，
解得AD＝.故BC边上的中线长为.……………………12分
第一步　利用正弦定理、余弦定理对条件式进行边角互化
第二步　由三角方程或条件式求角
第三步　利用条件式或正、余弦定理构建方程求边长
第四步　检验易错易混、规范解题步骤得出结论
训练1 (2021·株洲一模)在①sin B＝cos B＋1，②2bsin A＝atan B，③(a－c)sin A＋csin C＝bsin B这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答.
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝，b＝，若________，求角B的值与△ABC的面积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解　若选①：由sin B＝cos B＋1，
可得sin＝，
因为B∈(0，π)，所以B－＝，所以B＝，
由正弦定理得sin A＝，
又因为a＜b，所以A＝.
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin ＝，
所以S△ABC＝absin C＝.
若选②：由2bsin A＝atan B
得2bsin Acos B＝asin B，
结合正弦定理得cos B＝，因为B∈(0，π)，
所以B＝，以下解法与选①相同.
若选③：由正弦定理，(a－c)sin A＋csin C＝bsin B可化简为a2－ac＋c2＝b2，
而cos B＝＝，因为B∈(0，π)，
所以B＝，以下解法与选①相同.
　题型二　三角形中角或边的最值、范围问题
例2 (2022·广州一模)在①cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0，②cos 2B－3 cos(A＋C)＝1，③bcos C＋csin B＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
问题：在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，若a＋c＝1，________，求角B的大小和b的最小值.
解　选择条件①：
由cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0，
可得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，
即－cos Acos B＋sin Asin B＋cos Acos B－sin Acos B＝0，
即sin Asin B－sin Acos B＝0，
因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0，所以tan B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝1－3ac，
因为ac≤＝，当且仅当a＝c＝时等号成立，所以b2＝1－3ac≥1－＝，
所以b≥，即b的最小值为.
选择条件②：cos 2B－3cos(A＋C)＝1，
可得2cos2B－1＋3cos B＝1，即2cos2B＋3cos B－2＝0，
解得cos B＝或cos B＝－2(舍)，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
下同①.
选择条件③：bcos C＋csin B＝a，
由正弦定理可得sin Bcos C＋sin Csin B＝sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
即sin Csin B＝cos Bsin C，
因为sin C≠0，
所以sin B＝cos B，即tan B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
下同①.
感悟提升