人教高中数学第10讲 拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 (精讲+精练）（教师版）.docx

第10讲 拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：利用二阶导数求函数的极值
高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性
高频考点三：利用二阶导数求参数的范围
高频考点四：利用二阶导数证明不等式
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第10讲 拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 （精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数极值的第二判定定理：
若在附近有连续的导函数，且，
（1）若则在点处取极大值；
（2）若则在点处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数，无法判断导函数正负；
（2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有或
3、解题步骤：
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二专题练****已知函数，对于任意的，，且都有成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
令，则，
因为对于任意的，，且，都有，
即成立，
所以对于任意的，，且都有成立，
所以函数在上单调递减，则在上恒成立，
即在上恒成立，
设，
则
所以在上单调递减
所以
所以当时，
因为在上，，即，所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：A
2．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：设，则，
所以在上递减，所以，即，
设，则，递增，
则，即，
所以，
令，则，，
当时，，则递减，又，
所以当时，，递减，
则，即，
因为，则，
所以，即，
故，
故选：D
3．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练****文））设函数f（x）在区间I上有定义，若对和，都有，那么称f（x）为I上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为，其二阶导数为（即对函数再求导，记为），若，那么函数f（x）是严格的凹函数（，均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数在定义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【详解】
由，得，
令，则，
令恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，g（x）单调递减；
当时，，g（x）单调递增，
所以，
所以.
故答案为：.
4．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练****理））设函数在区间I上有定义，若对I上的任意两个数
，和任意的，都有，那么称为I上的凹函数，若等号不成立，即“”号成立，则称在I上为严格的凹函数，对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在上的函数，其一阶导数为，其二阶导数为（即对函数再求导，记为），若，，那么函数是严格的凹函数（，均可导），试根据以上信息解决如下问题：若函数在定义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【详解】
由，得，
所以，令，得，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以.
故答案为：
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：利用二阶导数求函数的极值
1．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知函数，，则（       ）
A．函数在上无极值点
B．函数在上存在唯一极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为
D．若，则的最大值为
【答案】AD
【详解】
对于A：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，故函数在上无极值点，故A正确；
对于B：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则函数在上无极值点，故B错误；
对于C：由A得在上单调递增，不等式恒成立，则恒成立，故恒成立.设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故C错误；
对于D：若，则.由A，B可知函数在上单调递增，在上单调递增，∵，∴，，且，当时，，设，设，则，令，解得，令，解得：，故在